Loi uniforme discrète

En théorie des probabilités, une loi discrète uniforme est une loi de probabilité discrète indiquant une probabilité de se réaliser identique (équiprobabilité) à chaque valeur d’un ensemble fini de valeurs possibles.

Loi uniforme discrète

Fonction de masse 'n = 5 où n = b - a + 1
Fonction de répartition

Paramètres	$a\in (\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots )$ $b\in (\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots )$ $n=b-a+1$
Support	$k\in \{a,a+1,\ldots ,b-1,b\}$
Fonction de masse	${\begin{matrix}{\frac {1}{n}}&{\mbox{pour }}a\leq k\leq b\ \\0&{\mbox{sinon }}\end{matrix}}$
Fonction de répartition	${\begin{matrix}0&{\mbox{pour }}k<a\\{\frac {k-a+1}{n}}&{\mbox{pour }}a\leq k\leq b\\1&{\mbox{pour }}k>b\end{matrix}}$
Espérance	${\frac {a+b}{2}}$
Médiane	${\frac {a+b}{2}}$
Variance	${\frac {n^{2}-1}{12}}$
Asymétrie	$0\!$
Kurtosis normalisé	$-{\frac {6(n^{2}+1)}{5(n^{2}-1)}}$
Entropie	$\ln(n)$
Fonction génératrice des moments	${\frac {e^{at}}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}e^{kt}$
Fonction caractéristique	${\frac {e^{iat}}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}e^{ikt}$

Description

Une variable aléatoire qui peut prendre n valeurs possibles k₁, k₂, …, k_n, suit une loi uniforme lorsque la probabilité de n’importe quelle valeur k_i est égale à 1/n.

Un exemple simple de loi discrète uniforme est le lancer d’un dé non biaisé. Les valeurs possibles de k sont 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; et à chaque fois que le dé est lancé, la probabilité d’un score donné est égale à 1/6.

Dans le cas où les valeurs d’une variable aléatoire suivant une loi discrète uniforme sont réelles, il est possible d’exprimer la fonction de répartition en termes de distribution déterministe ; ainsi

\mathrm {F} (k;a,b,n)={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\mathrm {H} (k-k_{i})

où H(x - x₀) désigne la fonction marche de Heaviside translatée de x₀, est la fonction de répartition (ou distribution cumulative) de la distribution déterministe centrée en x₀, aussi appelée masse de Dirac en x₀. Cela suppose que les hypothèses suffisantes soient vérifiées aux points de transition.

Cas général

Une variable aléatoire X prenant toutes les valeurs possibles d'un ensemble A (de cardinal #A = n) avec équiprobabilité sera dite uniforme sur A.

Cas particulier important

La table ci-contre concerne la loi uniforme sur un ensemble de n entiers consécutifs, qui n'est qu'un cas particulier de loi uniforme, mais un cas particulier important : cela correspond à

\mathrm {A} =[\![a,b]\!],\qquad n=b-a+1{\text{.}}

Calcul de probabilités et d'espérance (cas général)

Si X suit la loi uniforme sur un ensemble fini A, la loi de X se note parfois $\mathbb {U} _{\mathrm {A} }$ . On note

\mathbb {P} (\mathrm {X} =x)=\mathbb {U} _{\mathrm {A} }(\{x\})={\frac {1\!\!1_{\mathrm {A} }(x)}{\#\mathrm {A} }}

,

où $1\!\!1_{\mathrm {A} }(.)$ désigne la fonction indicatrice de l'ensemble A. D'un point de vue pratique,

\mathbb {P} (\mathrm {X} \in \mathrm {B} )=\sum _{x\in \mathrm {B} }\mathbb {P} (\mathrm {X} =x)=\sum _{x\in \mathrm {B} }{\frac {1\!\!1_{\mathrm {A} }(x)}{\#\mathrm {A} }}={\frac {\#(\mathrm {A} \cap \mathrm {B} )}{\#\mathrm {A} }}.

Pour une fonction φ définie sur A, à valeurs réelles, on a :

\mathbb {E} \left[\varphi (\mathrm {X} )\right]={\frac {1}{\#\mathrm {A} }}\sum _{x\in \mathrm {A} }\varphi (x)

.

L'espérance de φ(X) est donc la valeur moyenne de φ sur A. En utilisant les notations classiques de théorie de la mesure, on traduira cela par :

\ \mathbb {P} _{\mathrm {X} }=\mathbb {U} _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\#\mathrm {A} }}\sum _{x\in \mathrm {A} }\delta _{x}

,

où δ_x désigne la masse de Dirac en x, qui a pour fonction de répartition la fonction marche de Heaviside évoquée plus haut.

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Discrete Uniform Distribution », sur MathWorld

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