Méthode de Laplace

Illustration de la méthode de Laplace : en noir, la fonction ${\displaystyle f(x)}$, et en rouge, ${\displaystyle e^{Mf(x)}}$ avec ${\displaystyle M=3}$ : on remarque que seule l'aire sous la courbe à intégrer près du maximum de ${\displaystyle f}$ (pointillés) est significative.

Pour M > 0, si l'on suppose que la fonction ${\displaystyle f}$ admet un unique maximum au point ${\displaystyle x_{0}}$ alors pour M grand, seuls les points au voisinage de ${\displaystyle x_{0}}$ contribuent de façon significative à l'intégrale :

${\displaystyle \int _{a}^{b}\!e^{Mf(x)}dx.\,}$

Si M est négatif, en considérant -M et -f on peut se ramener à considérer les maximums de -f donc les minimums de f

Pour appliquer la méthode de Laplace, un certain nombre de conditions sont requises. ${\displaystyle x_{0}}$ ne doit pas être l'une des bornes de l'intégrale et ${\displaystyle f(x)}$ ne peut s'approcher de la valeur ${\displaystyle f(x_{0})}$ qu'au voisinage de ${\displaystyle x_{0}}$.

Par application du théorème de Taylor, au voisinage de ${\displaystyle x_{0}}$, ${\displaystyle f(x)}$ s'écrit :

${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}+O\left((x-x_{0})^{3}\right)}$.

Puisque ${\displaystyle f}$ admet un maximum en ${\displaystyle x_{0}}$, qui n'est pas l'une des bornes de l'intégrale, ${\displaystyle f\,'(x_{0})=0}$ et ${\displaystyle f\,''(x_{0})<0}$, on a alors dans un voisinage de ${\displaystyle x_{0}}$ :

${\displaystyle f(x)\approx f(x_{0})-{\frac {1}{2}}|f''(x_{0})|(x-x_{0})^{2}}$

Et pour l'intégrale :

${\displaystyle \int _{a}^{b}\!e^{Mf(x)}\,dx\approx e^{Mf(x_{0})}\int _{a}^{b}\!e^{-M|f''(x_{0})|(x-x_{0})^{2}/2}dx}$

La deuxième intégrale peut être estimée à l'aide d'une intégrale de Gauss en remplaçant les bornes a et b par −∞ et +∞ et l'on a alors :

${\displaystyle \int _{a}^{b}\!e^{Mf(x)}\,dx\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{M|f''(x_{0})|}}}e^{Mf(x_{0})}{\mbox{ quand }}M\to \infty }$

Le remplacement des bornes par −∞ et +∞ est numériquement valide car, quel que soit ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,\,e^{-M|f''(x_{0})|(x-x_{0})^{2}/2}}$ est un ${\displaystyle o\left((x-x_{0})^{-k}\right)}$

Les deux conditions demandées pour effectuer cette méthode ne sont pas nécessairement requises et il existe des généralisations pour le cas où ${\displaystyle x_{0}}$ est l'une des bornes en utilisant un développement au premier ordre autour de ${\displaystyle x_{0}}$ ainsi que par découpage d'intégrale pour le cas où deux, ou un nombre fini, de maximums locaux de f auraient des valeurs proches. La méthode du point col permet également une généralisation pour

${\displaystyle I(\lambda )=\int _{\mathcal {C}}f(z)e^{\lambda g(z)}\,dz\,}$

La méthode de Laplace peut être employée pour démontrer la formule de Stirling :

Pour N grand :${\displaystyle N!\approx {\sqrt {2\pi N}}N^{N}e^{-N}\,}$

Par définition de la fonction gamma, on a

${\displaystyle N!=\Gamma (N+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{N}dx.\,}$

Avec le changement de variable ${\displaystyle x=Nz\,}$ on obtient :

${\displaystyle N!\,}$	${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }e^{-Nz}\left(Nz\right)^{N}Ndz\,}$
	${\displaystyle =N^{N+1}\int _{0}^{\infty }e^{-Nz}z^{N}dz\,}$
	${\displaystyle =N^{N+1}\int _{0}^{\infty }e^{-Nz}e^{N\ln z}dz\,}$
	${\displaystyle =N^{N+1}\int _{0}^{\infty }e^{N(\ln z-z)}dz.\,}$

En considérant la fonction:

${\displaystyle f\left(z\right)=\ln {z}-z}$

f est deux fois dérivable :

${\displaystyle f'(z)={\frac {1}{z}}-1\,,}$

${\displaystyle f''(z)=-{\frac {1}{z^{2}}}.\,}$

f est maximum en z=1 et sa dérivée seconde vaut -1 en 1 ; on a alors avec la méthode de Laplace:

${\displaystyle N!\approx N^{N+1}{\sqrt {\frac {2\pi }{N}}}e^{-N}={\sqrt {2\pi N}}N^{N}e^{-N}.\,}$