Méthode de la puissance itérée

Théorème — Soit A une matrice carrée d'ordre n et (λ₁,λ₂,...,λ_n) ses valeurs propres. On suppose :

${\displaystyle |\lambda _{1}|>\max \left(|\lambda _{2}|,...,|\lambda _{n}|\right).}$

On considère la somme directe ℂ_n=E⊕F où E est le sous-espace caractéristique de A associé à la valeur propre λ₁, et F est le sous-espace caractéristique de A associé aux autres valeurs propres.

Alors si w⁽⁰⁾∉F, la suite de vecteurs (w⁽ⁿ⁾) définie par la relation de récurrence

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ w^{(n+1)}={\frac {1}{||Aw^{(n)}||}}Aw^{(n)}}$

vérifie

• w⁽ⁿ⁾≠0 pour tout n∈ℕ.
• ${\displaystyle ||Aw^{(n)}||\longrightarrow |\lambda _{1}|}$ lorsque n→∞.
• ${\displaystyle \left({\frac {\overline {\lambda _{1}}}{|\lambda _{1}|}}\right)^{n}w^{(n)}\longrightarrow v}$ lorsque n→∞, où v est un vecteur unitaire de A associé à la valeur propre λ₁.
• Si j est une composante non nulle du vecteur v, alors ${\displaystyle {\frac {(Aw^{(n)})_{j}}{w_{j}^{(n)}}}\longrightarrow \lambda _{1}}$ lorsque n→∞.