Méthode de séparation aveugle de source

Une première catégorie, largement étudiée, concerne les mélanges linéaires, c'est-à-dire le cas où les observations sont des mélanges linéaires des sources. Cette catégorie est elle-même divisée en trois sous-catégories:

Définition 1 : On parle de mélanges "linéaires instantanés" (LI) lorsque les observations s'écrivent comme des combinaisons linéaires des sources.

En particulier, dans le cas où les sources sont des signaux monodimensionnels ${\displaystyle s_{j}(t)}$, le mélange s'écrit

${\displaystyle x_{i}(t)=\sum _{j=1}^{N}a_{ij}\,s_{j}(t)\qquad i=1,\ldots ,P}$

où ${\displaystyle a_{ij}}$ est un réel constant qui correspond à l'amplitude de la contribution de la source ${\displaystyle j}$ sur le capteur ${\displaystyle i}$. Cette relation entre les sources et les observations peut s'écrire sous forme matricielle :

${\displaystyle x(t)=A\,s(t)}$

où

• ${\displaystyle x(t)=[x_{1}(t),\cdots ,x_{P}(t)]^{T}}$ est le vecteur d'observations,
• ${\displaystyle s(t)=[s_{1}(t),\cdots ,s_{N}(t)]^{T}}$ est le vecteur de sources,
• ${\displaystyle A}$ est une matrice de mélange ${\displaystyle N\times P}$ dont les éléments sont les coefficients ${\displaystyle a_{ij}}$.

Définition 2 : On parle de mélanges (de sources) " atténué(e)s et décalés temporellement " (AD) lorsque les observations s'écrivent comme des combinaisons linéaires de sources décalées temporellement.

En particulier, dans le cas précédent où les sources ${\displaystyle s_{j}(t)}$ sont des signaux monodimensionnels, le mélange s'écrit :

${\displaystyle x_{i}(t)=\sum _{j=1}^{N}a_{ij}\,s_{j}(t-t_{ij})\qquad i=1,\ldots ,P}$

où ${\displaystyle a_{ij}}$ et ${\displaystyle t_{ij}}$ sont des réels constants qui correspondent respectivement à l'amplitude de la contribution et au temps de propagation de la source ${\displaystyle j}$ sur le capteur ${\displaystyle i}$. Ce type de mélanges inclut en particulier le cas où des ondes sonores se propagent jusqu'aux capteurs selon un trajet unique. En effet, nous supposons qu'il n'y a aucune réflexion (on peut comparer ces conditions à celles d'une chambre anéchoïque dans le cas de signaux acoustiques) et donc les seuls signaux reçus par les capteurs sont les ondes provenant directement des sources avec leur atténuation et leur retard respectif.

Définition 3 : On parle de mélanges convolutifs lorsque les sources s'écrivent comme la somme de sources convoluées par un filtre de propagation.

Ce type de mélanges est le plus général des trois présentés jusqu'à présent puisque le capteur reçoit plusieurs ondes issues d'une même source qui sont toutes identiques à une atténuation et un retard près.

${\displaystyle x_{i}(t)=\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=0}^{+\infty }a_{ijk}s_{j}(t-t_{ijk})\qquad i=1,\ldots ,P}$

On peut alors modéliser la contribution globale de la source ${\displaystyle j}$ sur un capteur ${\displaystyle i}$ par la réponse impulsionnelle d'un filtre ${\displaystyle a_{ij}(t)}$.

${\displaystyle x_{i}(t)=\sum _{j=1}^{N}a_{ij}(t)*s_{j}(t)\qquad i=1,\ldots ,P,}$

où ${\displaystyle *}$ est le produit de convolution.

Comme pour le cas des mélanges LI, les mélanges AD et convolutifs peuvent être écrits sous forme matricielle:

${\displaystyle x(t)=A(t)\ast s(t)}$

Le second type de mélanges concerne les mélanges non linéaires, qui sont plus généraux. L'extrême complexité de ces mélanges limite son étude à des configurations bien particulières, comme le cas post-non linéaire. En effet, dans ce cas, le mélange est d'abord linéaire avant d'arriver sur les capteurs qui eux introduisent une non-linéarité (saturation en réception par exemple).

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• Analyse en composantes parcimonieuses
• Factorisation en matrices non négatives
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