Méthode delta
En probabilité et en statistiques, la méthode delta (ou delta méthode) est une méthode pour obtenir une approximation de la distribution asymptotique de la transformée d'une variable aléatoire asymptotiquement normale. Plus généralement, on peut considérer la méthode delta comme une extension du théorème central limite.
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Nature |
Analyse statistique (d) |
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Cas univarié
Soit une suite de variables aléatoires . Si pour deux constantes finies et et où dénote la convergence en loi, alors, la méthode delta donne, pour toute fonction g dérivable et telle que :
- [1].
Cas multivarié
Soit une suite de vecteurs aléatoires de , une fonction différentiable en . Supposons que où désigne la loi normale -dimensionnelle centrée de matrice de variance-covariance . Dans ce cas la méthode delta s'écrit :
avec la matrice jacobienne de en .
Exemple
Soit une suite de variables aléatoires d'espérance et de variance . D'après le théorème central-limite, on sait que . Maintenant, si l'on définit , on peut obtenir la distribution asymptotique de grâce à la méthode delta. Dans ce cas, on a la fonction . On sait que cette fonction vérifie . En appliquant la méthode delta, on obtient [1].
Bibliographie
- (en) Gary W. Oehlert, « A Note on the Delta Method », The American Statistician, vol. 46, no 1, , p. 27-29 (DOI 10.1080/00031305.1992.10475842, JSTOR 2684406)
Notes et références
- (en) Larry Wasserman, All of Statistics : A Concise Course in Statistical Inference, Springer, coll. « Springer Texts in Statistics », , p. 79
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