Méthode des volumes finis

On s'intéresse ici aux lois de conservation, dont la forme générale est la suivante :

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathrm {div} J=g,\qquad \forall (x,t)\in \Omega \times \mathbb {R} _{+}}$

à laquelle on ajoute des conditions aux limites et des conditions initiales, et où :

• ${\displaystyle \rho }$ (la densité) est l'inconnue ;
• ${\displaystyle J}$ le flux associé ;
• ${\displaystyle g}$ le terme source ;
• ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$.

De plus, J est de la forme suivante : ${\displaystyle J=F(x,t,\rho ,\nabla \rho )}$. On citera par exemple :

1. Le flux de convection / transport : ${\displaystyle J=v(x,t)f(\rho )}$, où :
   • ${\displaystyle v(x,t)\in \mathbb {R} ^{d}}$ le champ de vecteur donné ;
   • ${\displaystyle f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$.
2. Le flux de diffusion : ${\displaystyle J=-\kappa (x,t)\nabla \rho }$, où :
   • ${\displaystyle \kappa (x,t)\in \mathbb {R} }$ dans le cas classique ;
   • ${\displaystyle \kappa (x,t)\in {\mathcal {M}}_{d}(\mathbb {R} )}$ dans certains cas.
3. Le flux de convection et diffusion : ${\displaystyle J=v(x,t)f(\rho )-\kappa (x,t)\nabla \rho }$.

Soit ${\displaystyle \Omega }$ l'ensemble d'espace associé à l'équation aux dérivées partielles qui nous intéresse. On appelle volumes de contrôle les éléments de la suite ${\displaystyle \left(K_{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant I}}$, cette suite définissant un maillage du domaine ${\displaystyle \Omega }$, soit vérifiant :

• ${\displaystyle K_{i}}$ un ouvert de ${\displaystyle \Omega }$ ;
• ${\displaystyle K_{i}\cap K_{j}=\varnothing ,\;\forall i\neq j}$ ;
• ${\displaystyle \cup _{i=1}^{I}{\overline {K_{i}}}={\overline {\Omega }}}$.

Dimension 1

Maillage d'un segment [A,B] pour la méthode des volumes finis.

Soit ${\displaystyle \Omega =]0,1[}$.

Les volumes de contrôle ${\displaystyle \left(K_{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant I}}$ forment un maillage ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ de ${\displaystyle \Omega }$. En dimension 1, les volumes de contrôle sont des réunions d'intervalles ouverts. On considère par exemple ${\displaystyle K_{i}=\left]x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}\right[}$ comme l'indique la figure ci-contre.

On note ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ l'ensemble des interfaces ${\displaystyle \left(x_{i+{\frac {1}{2}}}\right)_{0\leqslant i\leqslant I}}$, les extrémités des volumes de contrôle.

Pour finir, on choisit un point ${\displaystyle x_{i}}$ dans chaque volume de contrôle ${\displaystyle K_{i}}$ et l'on note ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ l'ensemble de ces points ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant I}}$ (on peut y ajouter les points ${\displaystyle x_{0}=0}$ et ${\displaystyle x_{I+1}=1}$).

Le maillage est donc la donnée ${\displaystyle ({\mathcal {T}},{\mathcal {E}},{\mathcal {P}})}$.

Le pas (taille) du maillage est toujours important dans un schéma numérique, il sera noté ${\displaystyle h}$ et l'on pose ${\displaystyle h=\max _{1\leqslant i\leqslant I}(x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}})}$.

Dimension supérieure

Exemple d'un maillage triangulaire 2D.

On considère ${\displaystyle \Omega }$ un ouvert borné polyédrique de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ (polygonal si ${\displaystyle d=2}$).

${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ est toujours l'ensemble des volumes de contrôle ${\displaystyle \left(K_{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant I}}$.

${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ est l'ensemble des arêtes ou faces (selon la dimension) du maillage. Soit ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {E}}}$, on a alors :

• soit ${\displaystyle {\overline {\sigma }}={\overline {K_{i}}}\cap {\overline {K_{j}}},\;i\neq j}$ : ${\displaystyle \sigma }$ est alors une arête intérieure (${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {E}}_{int}}$) ;
• soit ${\displaystyle {\overline {\sigma }}\subset \partial \Omega }$ : ${\displaystyle \sigma }$ est alors une arête du bord (${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {E}}_{ext}}$).

On se donne de même que précédemment, une suite de points ${\displaystyle {\mathcal {P}}=(x_{i})_{1\leqslant i\leqslant I},\;{\text{où}}\;x_{i}\in K_{i}}$.

Le maillage de ${\displaystyle \Omega }$ est la donnée ${\displaystyle ({\mathcal {T}},{\mathcal {E}},{\mathcal {P}})}$.

On pose ici, pour le pas, ${\displaystyle h=\max _{1\leqslant i\leqslant I}\mathrm {diam} (K_{i})}$.

Pour la méthode des volumes finis, et contrairement à la méthode des différences finies, les inconnues discrètes ne sont pas les extrémités des mailles, mais les inconnues sont situées à l'intérieur des mailles. L'ensemble de ces inconnues discrètes est l'ensemble ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ défini précédemment.

La solution approchée ${\displaystyle u_{\mathcal {T}}}$, avec la méthode des volumes finis, est une solution constante par maille, que l'on reconstruit de la manière suivante :

${\displaystyle u_{\mathcal {T}}(x)=\sum _{K}u_{K}1\!\!1_{K}(x).}$

L'espace des solutions approchées pour le maillage ${\displaystyle ({\mathcal {T}},{\mathcal {E}},{\mathcal {P}})}$ est :

${\displaystyle X({\mathcal {T}})=\left\{\left.u_{\mathcal {T}}(x)=\sum _{K}u_{K}1\!\!1_{K}(x)~\right|~K\in {\mathcal {T}},u_{K}\in \mathbb {R} \right\}.}$

Remarque

En règle générale, l'espace des solutions vérifie :

• ${\displaystyle X({\mathcal {T}})\subset \mathrm {L} ^{\infty }(\Omega )(\subset \mathrm {L} ^{p},\;\forall p\geqslant 1\;{\text{si}}\;\Omega \;{\text{est borné}})}$ ;
• ${\displaystyle X({\mathcal {T}})\not \subset \mathrm {H} ^{1}}$.

Normale sortante à K en sigma.

La méthode des volumes finis est utilisée pour discrétiser la partie spatiale des lois de conservation, la partie temporelle est quant à elle discrétisée par la méthode des différences finies. On considère donc ici seulement la partie spatiale, ce qui nous donne le système suivant :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}\mathrm {div} (J)=g\quad {\text{sur}}\;\Omega ,\\J=F(x,t,u,\nabla u)\\\oplus \;{\text{Conditions Limites}}\end{array}}\right.}$

On considère un maillage ${\displaystyle ({\mathcal {T}},{\mathcal {E}},{\mathcal {P}})\;{\text{de}}\;\Omega }$. La méthode des volumes finis est basée sur l'intégration de l'EDP sur tous les volumes de contrôle du maillage.

On a, par le théorème de Stokes :

${\displaystyle \forall K\in {\mathcal {T}},\int _{K}g(x)\,\mathrm {d} x=\int _{K}\mathrm {div} (J)=\int _{\partial K}J\cdot n_{K}\,\mathrm {d} \gamma }$

On sait que : ${\displaystyle \partial K=\cup _{\sigma \in {\mathcal {E}}_{K}}\sigma ,\;{\text{où}}\;{\mathcal {E}}_{K}}$ est l'ensemble des arêtes du volume de contrôle ${\displaystyle K}$. d'où ${\displaystyle \sum _{\sigma \in {\mathcal {E}}_{K}}\int _{\sigma }J\cdot n_{K,\sigma }\,\mathrm {d} \gamma =\int _{K}g(x)\,\mathrm {d} x,}$ où ${\displaystyle n_{K,\sigma }}$ est la normale à ${\displaystyle \sigma }$ sortante de ${\displaystyle K.}$

On obtient le schéma volumes finis en faisant une approximation de la dernière égalité, ce qui donne :

${\displaystyle \sum _{\sigma \in {\mathcal {E}}_{K}}{\mathcal {F}}_{K,\sigma }=mes(K)g_{K},}$ avec :

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{K,\sigma }}$ une approximation de ${\displaystyle \int _{\sigma }J\cdot n_{K,\sigma }\,\mathrm {d} \gamma }$ ;
• ${\displaystyle g_{K}}$ une approximation de ${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {V} (K)}}\int _{K}g(x)\,\mathrm {d} x}$.

Les deux propriétés essentielles du flux numérique ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{K,\sigma }}$ pour que celui-ci soit une « bonne » approximation de ${\displaystyle \int _{\sigma }J\cdot n_{K,\sigma }\,\mathrm {d} \gamma }$, sont la conservativité et la consistance.

On cherche une solution classique du problème de Dirichlet suivant :

${\displaystyle ({\mathcal {P}})\left\{{\begin{array}{l}-u''(x)=f(x),\quad {\text{sur}}\;(0,1)\\u(0)=0=u(1)\end{array}}\right.}$

où ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}([0,1],\mathbb {R} )}$.

On utilise le maillage pour la dimension 1 défini précédemment.

On aura besoin également des paramètres suivants :${\displaystyle h_{i}=m(K_{i})=x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}\;{\text{et}}\;h_{i+{\frac {1}{2}}}=x_{i+1}-x_{i},\quad \forall \,0\leqslant i\leqslant I}$.

En intégrant l'équation ${\displaystyle -u''=f\;{\text{sur}}\;K_{i}}$, on obtient l'égalité suivante :

${\displaystyle -u'(x_{i+{\frac {1}{2}}})+u'(x_{i-{\frac {1}{2}}})=\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}f}$.

Le schéma volumes finis s'écrit alors :

${\displaystyle ({\mathcal {S}})\left\{{\begin{array}{l}{\mathcal {F}}_{i+{\frac {1}{2}}}-{\mathcal {F}}_{i-{\frac {1}{2}}}=h_{i}f_{i},\quad \forall \,1\leqslant i\leqslant I\\{\mathcal {F}}_{i+{\frac {1}{2}}}=-{\frac {u_{i+1}-u_{i}}{h_{i+{\frac {1}{2}}}}},\quad \forall \,0\leqslant i\leqslant I\\u_{0}=0=u_{I+1}\end{array}}\right.}$

avec ${\displaystyle f_{i}={\frac {1}{h_{i}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}f}$.

Ce schéma numérique ${\displaystyle ({\mathcal {S}})}$ est un système d'équations linéaires :

• ${\displaystyle I}$ inconnues : ${\displaystyle (u_{i})_{1\leqslant i\leqslant I}}$ ;
• ${\displaystyle I}$ équations.

On peut facilement mettre ce système sous forme matricielle : ${\displaystyle AU=B,\;U}$ est le vecteur des inconnues.

Remarques

• La consistance, la conservativité et l'unicité de la solution du schéma n'impliquent pas la convergence du schéma.
• Il existe des théorèmes de convergence du schéma si ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}([0,1],\mathbb {R} )}$ ou si ${\displaystyle f\in \mathrm {L} ^{2}(0,1)}$.