Méthode du nombre d'or

La méthode du nombre d'or est un algorithme d'optimisation, c'est-à-dire de recherche de l'extremum d'une fonction, dans le cas d'une fonction unimodale, c'est-à-dire dans lequel l'extremum global recherché est le seul extremum local. S'il existe plusieurs extrema locaux, l'algorithme donne un extremum local, sans qu'il soit garanti que ce soit l'extremum absolu. Cet algorithme, ainsi que la méthode de Fibonacci, ont été mis au point par le statisticien Kiefer[1],[2].

Principe de base
Principe de base de la méthode.

Considérons une fonction réelle ƒ. On a calculé sa valeur en trois points, x1, x2 et x3, avec x1 < x2 < x3 ; ceci est représenté sur le dessin ci-contre, avec y = ƒ(x).

Supposons que l'on ait ƒ(x2) < ƒ(x1) et ƒ(x2) < ƒ(x3) ; comme la fonction est unimodale, on sait que le minimum est dans l'intervalle ]x1 ; x3[. On « sonde » la fonction en prenant un point x4 dans cet intervalle, afin de réduire l'intervalle de recherche.

On peut prendre x4 dans ]x1 ; x2[ ou bien dans ]x2 ; x3[ ; il est plus « rentable » de le prendre dans l'intervalle le plus grand, ici ]x2 ; x3[. Selon la valeur de ƒ(x4), alors :

  • cas a : ƒ(x4a) > ƒ(x2), on sait que le minimum se trouve dans ]x1 ; x4[ ;
  • cas b : ƒ(x4b) < ƒ(x2), on sait que le minimum se trouve dans ]x2 ; x3[.

On procède ensuite de manière récursive. L'algorithme n'est pas très différent d'une recherche dichotomique, mais le choix des points utilise le nombre d'or plutôt que le nombre 2.

La mise en œuvre de la méthode doit prévoir le cas où ƒ(x4) = ƒ(x2), et notamment le cas extrême où la fonction est uniforme sur ]x1 ; x3[ ; ce n'est pas un cas unimodal, donc hors des hypothèses de l'algorithme, mais la recherche est en général lancée sans connaître le nombre de modes de la fonction.

Choix de la sonde

La particularité de la méthode est de choisir la sonde x4 telle que les deux segments possibles, ]x1 ; x4[ ou ]x2 ; x3[, aient la même longueur. Sinon, ou pourrait par « malchance » avoir une convergence lente. On choisit donc

x4 - x1 = x3 - x2

soit

x4 = x1 + (x3 - x2).

Si l'on désire toujours garder la même proportion entre la largeur du segment à l'étape i et celle à l'étape i + 1, alors dans le cas a, il faut

ou, avec les notations introduites sur la figure :

et dans le cas b :

En éliminant c dans ces équations, on obtient

ce qui donne le nombre d'or φ :

Si l'intervalle de départ est [x1 ; x3], alors la première sonde est prise en

.

Notes et références
  1. Kiefer (1953), Sequential Minimax Search for a Maximum, https://www.jstor.org/stable/2032161
  2. Avriel and Wilde (1966)
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