Masse fluide en rotation
Soit un fluide incompressible, autogravitant, en rotation, de masse M, de masse volumique . Le problème est de trouver sa forme.
Pour une rotation faible, la solution de Maclaurin (1742) est la bonne : un ellipsoïde de révolution aplati.
Mais Jacobi découvre en 1834 une nouvelle famille de solutions : un ellipsoïde à trois axes différents.
Dès lors, le problème devient l'objet de recherches mathématiques intenses (Meyer, Riemann, Poincaré, Cartan,...) jusqu'à nos jours.
Historiquement, Darwin-fils avait pensé que lors de la formation de la Terre, la "goutte" en rotation rapide avait pu se séparer donnant naissance à la Lune. Ce scénario est écarté aujourd'hui.
La solution de Maclaurin
Soit un ellipsoïde de révolution aplati, d'aplatissement f = (a-b)/a, d'excentricité e.
La rotation est caractérisée par le paramètre m = . Comme le volume est donné, V = , m est proportionnel à
La solution donnée par Maclaurin est :
.
A dire vrai, il vaut mieux considérer que le moment cinétique L = est donné. Alors L =f(e) est monotone.
La solution de Jacobi
Jacobi montrera que si L augmente, l'ellipsoïde de révolution est instable ; il faut lui substituer un ellipsoïde triaxial (a>b>c) , avec c/a = 0.58 , et b/a = 1 au point de bifurcation : la symétrie de révolution est brisée.
La valeur de e = correspondante est : 0. 812 670 ...
Pour des valeurs plus importantes de L , b diminue , ainsi que c , pour atteindre les valeurs b/a = 0.43 et c/a = 0.34 .
Au-delà, la solution bifurque à nouveau : solutions "piriformes" de Poincaré , etc.
Voir aussi
Bibliographie
- Subrahmanyan Chandrasekhar, Ellipsoidal Figures of Equilibrium, Dover, 1987
- Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 2 : Théorie des champs [détail des éditions], loi de Newton (§ 99)
- Pierre-Simon de Laplace, Traité de mécanique céleste, t. 1, p. 91-110, Imprimerie de Crapelet, Paris, An VII Texte
- Henri Poincaré, « Sur l'équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation », Acta Mathematica, 1885 Texte
- Henri Poincaré, « Les formes d'équilibre d'une masse fluide en rotation », Revue générale des sciences pures et appliquées, no 23, Texte
- B. Globa-Mikhaïenko, « Sur quelques nouvelles figures d'équilibre d'une masse fluide en rotation », t. 2, p. 1-78, Journal de mathématiques pures et appliquées, 1916 Texte
- B. Globa-Mikhaïenko, Thèse : Contribution à l'étude des mouvements d'une masse en fluide en mouvement, Gauthier-Villars, Paris, 1920 Texte
- Pierre Dive, Rotations internes des astres fluides, Librairie scientifique Albert Blanchard, Paris, 1930 Texte
- (en) S. Chandrasekhar, « Ellipsoidal figures of equilibrium - an historical account », Comm. Pure Appl. Math., vol. 20, , p. 251-265 (DOI 10.1002/cpa.3160200203, lire en ligne)
- (en) S. Chandrasekhar, « The equilibrium and the stability of the Dedekind ellipsoids », Astrophys. J., vol. 141, , p. 1043-1054 (lire en ligne)
