Matrice à diagonale dominante

En algèbre linéaire, une matrice carrée à coefficients réels ou complexes est dite à diagonale dominante lorsque le module de chaque terme diagonal est supérieur ou égal à la somme des modules des autres termes de sa ligne. Si $A=(a_{i,j})_{(i,j)\in [\![1,n]\!]^{2}}$ , on a alors :

\forall i\in [\![1,n]\!],\ |a_{i,i}|\geq \sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}|a_{i,j}|.

De la même manière, $A$ est dite à diagonale strictement dominante lorsque :

\forall i\in [\![1,n]\!],\ |a_{i,i}|>\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}|a_{i,j}|.

Exemples[1]

La matrice

A={\begin{pmatrix}3&1&1\\1&-3&2\\-1&2&4\end{pmatrix}}

vérifie

\left\{{\begin{array}{ccc}|a_{11}|&\geq &|a_{12}|+|a_{13}|\,&{\text{car}}\,&|3|&\geq &|1|+|1|\\|a_{22}|&\geq &|a_{21}|+|a_{23}|\,&{\text{car}}\,&|-3|&\geq &|1|+|2|\\|a_{33}|&\geq &|a_{31}|+|a_{32}|\,&{\text{car}}\,&|4|&\geq &|-1|+|2|\end{array}}\right..

C'est donc une matrice à diagonale dominante.

La matrice

B={\begin{pmatrix}-2&2&1\\1&3&2\\1&-2&0\end{pmatrix}}

vérifie

\left\{{\begin{array}{ccc}|b_{11}|&<&|b_{12}|+|b_{13}|\,&{\text{car}}\,&|-2|&<&|2|+|1|\\|b_{22}|&\geq &|b_{21}|+|b_{23}|\,&{\text{car}}\,&|3|&\geq &|1|+|2|\\|b_{33}|&<&|b_{31}|+|b_{32}|\,&{\text{car}}\,&|0|&<&|1|+|-2|\end{array}}\right..

Ce n'est donc pas une matrice à diagonale dominante.

La matrice

C={\begin{pmatrix}-4&2&1\\1&6&2\\1&-2&5\end{pmatrix}}

vérifie

\left\{{\begin{array}{ccc}|c_{11}|&>&|c_{12}|+|c_{13}|\,&{\text{car}}\,&|-4|&>&|2|+|1|\\|c_{22}|&>&|c_{21}|+|c_{23}|\,&{\text{car}}\,&|6|&>&|1|+|2|\\|c_{33}|&>&|c_{31}|+|c_{32}|\,&{\text{car}}\,&|5|&>&|1|+|-2|\end{array}}\right..

C'est donc une matrice à diagonale strictement dominante.

Lemme d'Hadamard

Le « lemme d'Hadamard »[2] est un cas particulier du théorème de Gerschgorin. Inversement, il peut servir de lemme pour démontrer ce dernier.

Si $A=(a_{i,j})_{(i,j)\in [\![1,n]\!]^{2}}$ est une matrice à diagonale strictement dominante alors $A$ est inversible.

Démonstration

Raisonnons par contraposition, en supposant $A$ non inversible. Alors, 0 est valeur propre donc d'après le théorème de Gerschgorin :

\exists i\in [\![1,n]\!]\quad |a_{i,i}|\leq \sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}|a_{i,j}|

,

autrement dit : $A$ n'est pas à diagonale strictement dominante.

Corollaire

Soit $A$ une matrice hermitienne.

Si $A$ est à diagonale dominante alors, elle est positive si (et seulement si) ses coefficients diagonaux sont des réels positifs ou nuls.

Si $A$ est à diagonale strictement dominante alors, elle est définie positive si (et seulement si) ses coefficients diagonaux sont des réels strictement positifs[3].

Démonstration

Le sens « seulement si » résulte immédiatement de la définition des matrices positives et définies positives. Réciproquement, supposons que $A=(a_{i,j})_{(i,j)\in [\![1,n]\!]^{2}}$ est une matrice hermitienne à diagonale dominante dont les coefficients diagonaux sont des réels positifs ou nuls (resp. strictement positifs). Soit $λ$ une valeur propre (nécessairement réelle) de $A$ . Alors,

\exists i\in [\![1,n]\!]\quad |a_{i,i}-\lambda |\leq \sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}|a_{i,j}|\leq |a_{i,i}|

(resp.

<|a_{i,i}|

).

Comme $|a_{i,i}|$ est positif ou nul (resp. strictement positif), $λ$ l'est aussi, ce qui prouve que $A$ est positive (resp. définie positive).

Le second point peut aussi se déduire du premier et du lemme d'Hadamard.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Diagonally dominant matrix » (voir la liste des auteurs).
Démontré par Lévy (1881) et Desplanques (1887), puis redécouvert par maints auteurs dont Minkowski (1900), Hadamard (1903) et Brauer (1946), cf. (en) Richard S. Varga, Geršgorin and His Circles, Springer, 2004, 230 p. (ISBN 978-3-540-21100-6, lire en ligne), p. 31
Jean-Étienne Rombaldi, Leçons d'oral pour l'agrégation de mathématiques : Première épreuve : les exposés (lire en ligne), p. 131, exercice (corrigé) 14.3, dans le cas d'une matrice symétrique réelle.

Articles connexes

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[1] (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Diagonally dominant matrix » (voir la liste des auteurs).

[2] Démontré par Lévy (1881) et Desplanques (1887), puis redécouvert par maints auteurs dont Minkowski (1900), Hadamard (1903) et Brauer (1946), cf. (en) Richard S. Varga, Geršgorin and His Circles, Springer, 2004, 230 p. (ISBN 978-3-540-21100-6, lire en ligne), p. 31

[3] Jean-Étienne Rombaldi, Leçons d'oral pour l'agrégation de mathématiques : Première épreuve : les exposés (lire en ligne), p. 131, exercice (corrigé) 14.3, dans le cas d'une matrice symétrique réelle.