Matrice élémentaire

Une matrice est dite élémentaire lorsqu'elle est obtenue en appliquant une seule opération élémentaire sur les lignes de la matrice identité[1].

Les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice sont les suivantes[2] :

permuter deux lignes entre elles ;
ajouter un multiple d'une ligne à une autre ligne ;
multiplier une ligne par un scalaire non nul.

Exemples

Opération effectuée sur la matrice identité $I 3$		type de matrice
échanger lignes 1 et 2	${\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$	matrice de permutation
multiplier ligne n°3 par 5	${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&5\\\end{pmatrix}}$	matrice de dilatation
ajouter 5×ligne n°2 à la ligne n°3	${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&5&1\\\end{pmatrix}}$	matrice de transvection

Propriétés

Un examen direct des trois types montre que toute matrice élémentaire est inversible et de transposée élémentaire.

Multiplier à gauche une matrice A par une matrice élémentaire résultant d'une opération élémentaire sur les lignes de la matrice identité revient à effectuer l'opération correspondante sur les lignes de A[3] (on retrouve ainsi que toute matrice élémentaire est inversible : son inverse correspond à l'opération élémentaire inverse).

En notant M la matrice élémentaire associée à une certaine opération élémentaire sur les lignes, effectuer sur A l'opération élémentaire correspondante sur les colonnes revient à multiplier A à droite par la transposée de M[3].

Remarque

Le premier type d'opérations élémentaires (permutation de deux lignes ou colonnes) est en fait superflu car il peut s'obtenir à partir des deux autres[4]. En effet,

${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}.$

Notes et références

Renzo Cairoli, Algèbre linéaire, vol. 1, PPUR, 1991, 325 p. (ISBN 978-2-88074-187-7, lire en ligne), p. 126.
Cairoli 1991, p. 96.
Cairoli 1991, p. 127.
(en) Ward Cheney (en) et David Kincaid, Linear Algebra : Theory and Applications, Jones & Bartlett, 2010 (lire en ligne), p. 16.

Articles connexes

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[1] Renzo Cairoli, Algèbre linéaire, vol. 1, PPUR, 1991, 325 p. (ISBN 978-2-88074-187-7, lire en ligne), p. 126.

[2] Cairoli 1991, p. 96.

[C127-3] Cairoli 1991, p. 127.

[4] (en) Ward Cheney (en) et David Kincaid, Linear Algebra : Theory and Applications, Jones & Bartlett, 2010 (lire en ligne), p. 16.