Matrice vide

En mathématiques, une matrice vide[1]^,[2] est définie comme une matrice dont l'une des dimensions m ou n est nulle ; il s'agit donc de matrices de dimension m × 0, 0 × n ou bien 0 × 0.

Une matrice pouvant être définie abstraitement par une famille finie d'éléments d'un ensemble K (souvent un anneau commutatif ou un corps) indexée par un produit cartésien I × J où I et J sont des ensembles finis, une matrice vide correspond au cas où soit I soit J est l'ensemble vide[3].

Ces matrices sont utiles pour travailler avec l'espace nul K⁰ (K étant un corps commutatif quelconque, habituellement ℝ ou ℂ). Elles permettent donc d'appliquer les matrices à cet espace vectoriel trivial. D'un point de vue pratique, les matrices vides étendent la validité de théorèmes à des cas limites ; elles permettent par exemple d'utiliser des équations de dynamique à des situations statiques[4]. En informatique, une matrice vide peut être le résultat d'une recherche infructueuse ou bien survenir au début ou à la fin d'un algorithme itératif ; l'extension des règles de l'algèbre aux cas limite des matrices vides permet donc d'éviter de traiter ces cas comme des exceptions[4].

Une matrice vide en tant que représentant d'une application linéaire

L'espace nul K⁰ ne contient qu'un seul élément, le « vecteur vide » (le vecteur n'ayant aucune coordonnées[5]). Un espace vectoriel ayant nécessairement un élément neutre, ce vecteur vide est le vecteur nul de K⁰ noté 0_K⁰ :

K⁰ = {0_K⁰}

L'espace nul est de dimension 0. Considérons maintenant un K-espace vectoriel E quelconque. Il n'existe qu'une seule application linéaire de E dans K⁰, celle transformant tout vecteur de E en ce vecteur nul (c'est l'application nulle). L'ensemble des applications linéaires de E dans K⁰ est donc un singleton.

L(E, K⁰) = {ƒ_{E, K⁰}} avec

ƒ_{E, K⁰} : E → K⁰

x ↦ 0_K⁰

Si l'on appelle n la dimension de E, alors il existe une unique matrice de dimension n×0 qui représente cette application linéaire unique, c'est une matrice vide que l'on pourra noter ()_{n, 0}.

De même, il n'existe qu'une seule application linéaire de K⁰ dans E, l'image de K⁰ par cette application étant le vecteur nul de E puisque l'unique élément de K⁰ est le vecteur nul (c'est donc également l'application nulle). L'ensemble des applications linéaires de K⁰ dans E est également un singleton.

L(K⁰, E) = {ƒ_{K⁰, E}} avec

ƒ_{K⁰, E} : K⁰ → E

x ↦ 0_E

Il existe donc une unique matrice de dimension 0×n représentant cette applications linéaire, la matrice vide ()_{0, n}.

En tant que représentant d'une application nulle, une matrice vide est une matrice nulle :

()_{n, 0} = 0_{n, 0} ;

()_{0, n} = 0_{0, n}.

La matrice vide de dimension 0×0, que l'on peut noter ()_{0, 0}, représente en particulier l'identité Id₀ de l'espace nul. C'est donc une matrice inversible (régulière), donc carrée. Puisqu'elle représente également l'application nulle, nous avons donc :

()_{0, 0} = Id₀ = 0_{0, 0},

c'est-à-dire que dans l'anneau nul des matrices de dimension 0×0, l'unique élément est neutre à la fois pour le produit et pour la somme.

Propriétés des matrices vides

Dans ce qui suit, nous notons « () » pour désigner une matrice vide de dimension quelconque ()_{n, 0}, ()_{0, n} ou ()_{0, 0}.

image : Im() = {0} ;
noyau :
- Ker()_{0, n} = {0},
- Ker()_{n, 0} = Kⁿ ;
pour toutes les normes : ║()║ = 0 ;
la transposée d'une matrice vide est encore vide ;
le produit dépend de la dimension de la matrice vide considérée : considérons une matrice A de dimension (m × n) et une matrice B de dimension (n × p), au moins un des entiers m, n et p étant nul ; AB est une matrice de dimension (m × p) et donc :
- si m = 0 , alors AB est une matrice de dimension (0 × p) donc une matrice vide : ()_{0, n} × B = ()_{0, p},
- si p = 0, alors AB est une matrice de dimensions (m × 0), c'est également une matrice vide : A × ()_{n, 0} = ()_{m, 0},
- mais si n = 0 et si m ≠ 0 et p ≠ 0, alors la matrice AB est une matrice de dimension (m × p), ce n'est pas une matrice vide ; c'est en revanche la matrice nulle : ()_{m, 0} × ()_{0, p} = 0_{m, p} ; concrètement, la multiplication des matrices correspond à la composition d'applications linéaires, nous avons ici la composition de deux applications nulles, la résultante est logiquement l'application nulle de l'espace de départ K^p vers l'espace d'arrivée K^m ;
rang : rg() = 0 ;

Concernant la somme : l'addition de matrices est une loi de composition interne, les matrices ont donc nécessairement la même dimension. Ainsi, on ne peut écrire « A + () » ou bien « () + A » que si A est elle-même une matrice vide identique, le résultat est donc également une matrice vide.

Pour la matrice vide de dimension 0×0 :

()_{0, 0} = I₀ (matrice identité) donc :
- la matrice est sa propre inverse : ()_{0, 0}^–1 = ()_{0, 0},
- la matrice ()_{0, 0} à valeurs réelles est orthogonale ;
conditionnement :
- certains retiennent la convention cond()_{0, 0} = 0 par calcul[2] (puisque la norme est nulle),
- d'autres retiennent cond()_{0, 0} = 1 par application de la notion de conditionnement[6] (une précision parfaite correspondant à un score de 1 et la matrice vide est une identité, les matrices unités ayant toutes un conditionnement de 1) ;
déterminant : det()_{0, 0} = 1 ; c'est une conséquence de la notion de produit vide dans la formule de Leibniz et c'est cohérent avec le fait que c'est une matrice identité ;
son polynôme caractéristique est 1 d'après le point précédent ;
ce polynôme n'a pas de racine donc la matrice n'a pas de valeur propre (et donc pas de vecteur propre) ;
la matrice vide est nulle donc :
- à la fois symétrique et antisymétrique,
- de trace nulle.

Dans les langages de programmation

Matlab

Jusqu'à sa version 4, Matlab n'acceptait qu'une matrice vide notée []. À partir de sa version 5, il distingue les matrices vides 0 × 0 (notée []), 0 × 1 et 1 × 0[7]. On peut obtenir une matrice vide 0 × 1 par

>> zeros(0, 1)

ans =

   Empty matrix: 0-by-1
>> a = ones(3, 2)
a =

     1     1
     1     1
     1     1
>> b = zeros(3, 2)
b =

     0     0
     0     0
     0     0
>> c = find(a<b)
c =

   Empty matrix: 0-by-1

Le logiciel vérifie la compatibilité des dimensions des matrices vides pour le produit et la somme. Si l'on ajoute un scalaire à la matrice vide — ce qui revient dans Matlab à ajouter le scalaire à tous les éléments de la matrice vide —, Matlab retourne la matrice vide.

>> 5 + c
c =

   Empty matrix: 0-by-1

Concernant le produit, on a :

>> c*c'

ans =

     []

>> c'*c

ans =

     0

On a également sum(c) == 0 et sum(c) == 1 car ce sont les éléments neutres de la somme et du produit respectivement.

Seule la matrice vide 0 × 0 est considérée comme carrée et inversible. On a alors det([]) == 1, inv([]) == [] et cond([]) == 0.

GNU Octave dispose également de ces trois matrices vide avec un comportement similaire[8].

Scilab

Le logiciel Scilab ne définit qu'une seule matrice vide notée []. L'exemple précédent donne dans Scilab :

--> zeros(0, 1)
 ans  =

    []
--> a = ones(3, 2)
 a  = 

   1.   1.
   1.   1.
   1.   1.
--> b = zeros(3, 2)
 b  = 

   0.   0.
   0.   0.
   0.   0.
--> c = find(a<b)
 c  = 

    []

Le logiciel autorise le produit et la somme avec une matrice vide sans vérifier les dimensions. On a :

[] + A == A + [] == A jusqu'à sa version 5.5.2[9] et
[] + A == A + [] == [] à partir de sa version 6.0.0[10] ;
A*[] == []*A == [] ;
sum([]) == 0 et prod([]) == 1 ;
det([]) == 0[11] ;
inv([]) == [] ;
cond([]) == 1[6].

R

Le logiciel R permet de créer des matrices vides de toutes dimensions. Par exemple :

> M <- matrix(, nrow = 3, ncol = 0) # matrice vide 3 × 0
> print(M)
    
[1,]
[2,]
[3,]

> sum(M)
[1] 0

> prod(M)
[1] 1

> N <- aperm(M, c(2, 1)) # transposée, matrice vide 0 × 3
> print(N)
     [,1] [,2] [,3]

> N %*% M # produit matriciel
<0 x 0 matrix>

> M %*% N
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    0    0    0
[2,]    0    0    0
[3,]    0    0    0

> O <- matrix(, nrow = 0, ncol = 0) # matrice vide 0 × 0
> print(O)
<0 x 0 matrix>

> det(O) # déterminant
[1] 1
> A <- matrix(1:6, nrow=2) # matrice 2 × 3
> print(A)
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    3    5
[2,]    2    4    6

> A %*% M
    
[1,]
[2,]

Maxima

Le logiciel Maxima ne permet de créer que des matrices colonne vides ()_{n, 0} et la matrice carrée vide ()_{0, 0} :

(%i1) A:matrix()
(%o1) matrix()

(%i2) length(A)
(%o2) 0

(%i3) B:matrix([], [], [])
      ┌ ┐
      │ │
(%o3) │ │
      │ │
      └ ┘

(%i2) length(B)
(%o2) 3

(%i5) transpose(B)
(%o5) matrix()

(%i6) C:matrix([])
(%o6) matrix([])

(%i7) length(C)
(%o7) 1

Notez que matrix() est la matrice ()_{0, 0} ; Maxima n'est pas cohérent puisque charpoly(A, x), qui calcule le polynôme caractéristique d'une matrice, renvoie une erreur indiquant que A n'est pas carrée mais a pour dimension 1 × 0. L'expression matrix([]) donne la matrice 1 × 1 qui contient le vecteur vide et qui, pour Maxima, est différente de matrix(). La transposée d'une matrice ()_{n, 0} donne la matrice ()_{0, 0.}

Bibliographie

[de Boor 1990] (en) Carl de Boor, « An empty exercise », ACM SIGNUM Newsletter, vol. 25, n^o 4,‎ octobre 1990, p. 2-6 (DOI 10.1145/122272.122273, lire en ligne)
[Nett et Haddad 1993] C. N. Nett et W. M. Haddad, « A system-theoretic appropriate realization of the empty matrix concept », IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 38, n^o 5,‎ 1993, p. 771-775 (DOI 10.1109/9.277245, lire en ligne)

Notes et références

(en) Josef Stoer et Christoph Witzgall, Convexity and Optimization in Finite Dimensions I, Springer, coll. « Grundlehren der mathematischen Wissenschaften » (n^o 163), 1970 (ISBN 978-3-642-46218-4 et 978-3-642-46216-0, DOI 10.1007/978-3-642-46216-0), p. 3
de Boor 1990
Voir Nicolas Bourbaki, « Algèbre linéaire », dans Algèbre, Springer, coll. « Éléments de mathématique » (n^o II), 2006, 2^e éd. (lire en ligne), A II.139, qui parle aussi de « matrice vide » dans le cas où I ou J est l'ensemble vide.
Nett et Haddad 1993, p. 771.
Un tel vecteur est alors le 0-uplet d'éléments de K, et peut donc être identifié comme l'application vide vers K, notée Ø_K.
C'est par exemple le choix du logiciel Scilab des versions 5.3 à 6.0, voir « Matrice vide (Scilab 5.3.0) », sur help.scilab.org, 26 janvier 2011 (consulté le 4 juin 2018) et « Matrice vide (Scilab 6.0.1) », sur help.scilab.org, 12 février 2018 (consulté le 4 juin 2018).
Loren, « Calculus with Empty Arrays », sur The Art of Matlab, 4 novembre 2009 (consulté le 4 juin 2018)
« Empty matrices », sur octave.org (consulté le 6 juin 2018)
« Matrice vide (Scilab 5.5.2) », sur help.scilab.org, 1^er avril 2015 (consulté le 4 juin 2018).
« Matrice vide (Scilab 6.0.0) », sur help.scilab.org, 14 février 2017 (consulté le 4 juin 2018).
Contrairement à ce que mentionne l'aide en ligne.

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[1] (en) Josef Stoer et Christoph Witzgall, Convexity and Optimization in Finite Dimensions I, Springer, coll. « Grundlehren der mathematischen Wissenschaften » (n^o 163), 1970 (ISBN 978-3-642-46218-4 et 978-3-642-46216-0, DOI 10.1007/978-3-642-46216-0), p. 3

[deBoor1990-2] Boor 1990

[3] Voir Nicolas Bourbaki, « Algèbre linéaire », dans Algèbre, Springer, coll. « Éléments de mathématique » (n^o II), 2006, 2^e éd. (lire en ligne), A II.139, qui parle aussi de « matrice vide » dans le cas où I ou J est l'ensemble vide.

[NettHaddad1993771-4] Nett et Haddad 1993, p. 771.

[5] Un tel vecteur est alors le 0-uplet d'éléments de K, et peut donc être identifié comme l'application vide vers K, notée Ø_K.

[ScilabCond-6] C'est par exemple le choix du logiciel Scilab des versions 5.3 à 6.0, voir « Matrice vide (Scilab 5.3.0) », sur help.scilab.org, 26 janvier 2011 (consulté le 4 juin 2018) et « Matrice vide (Scilab 6.0.1) », sur help.scilab.org, 12 février 2018 (consulté le 4 juin 2018).

[7] Loren, « Calculus with Empty Arrays », sur The Art of Matlab, 4 novembre 2009 (consulté le 4 juin 2018)

[8] « Empty matrices », sur octave.org (consulté le 6 juin 2018)

[9] « Matrice vide (Scilab 5.5.2) », sur help.scilab.org, 1^er avril 2015 (consulté le 4 juin 2018).

[10] « Matrice vide (Scilab 6.0.0) », sur help.scilab.org, 14 février 2017 (consulté le 4 juin 2018).

[11] Contrairement à ce que mentionne l'aide en ligne.