Mesure sigma-finie
Soit (X, Σ, μ) un espace mesuré. On dit que la mesure μ est σ-finie lorsqu'il existe un recouvrement dénombrable de X par des sous-ensembles de mesure finie, c'est-à-dire lorsqu'il existe une suite (En)n∈ℕ d'éléments de la tribu Σ, tous de mesure finie, avec
Exemples
- Mesure finie
- Mesure de comptage sur un ensemble dénombrable
- Mesure de Lebesgue et plus généralement, mesure de Haar sur un groupe localement compact σ-compact
Propriétés
- En remplaçant En par Fn = E0 ∪ … ∪ En, on obtient une suite vérifiant les mêmes propriétés et qui de plus est croissante pour l'inclusion, donc μ(X) = lim μ(Fn).
- En remplaçant Fn par Gn = Fn\Fn – 1, on obtient une suite vérifiant les mêmes hypothèses que (En)n∈ℕ et qui de plus est constituée de parties disjointes deux à deux, donc μ(X) = ∑n∈ℕ μ(Gn).
- Si Y est un élément de Σ, la restriction de μ à Y est encore σ-finie.
Usages
- Théorème d'extension de Carathéodory
- Unicité d'une mesure produit
- Théorème de Fubini
- Théorème d'Egoroff
- Cas extrémal de l'inégalité de Hölder
- Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue
- Lien entre mesure complétée et mesure extérieure
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