Croissance exponentielle

On exprime alors souvent la croissance sous forme d'un pourcentage : une croissance de 10 % par an signifie que la population est multipliée par 1,1 chaque année. Ainsi, pour une population initiale de 1 000 individus :

• au bout d'un an, elle passe à 1 100 individus (${\displaystyle 1000\times 1,1}$) ;
• au bout de deux ans, elle passe à 1 210 individus (${\displaystyle 1100\times 1,1}$ ou ${\displaystyle 1000\times 1,1\times 1,1}$ ou ${\displaystyle 1000\times 1,1^{2}}$) ;
• …
• au bout de 7 ans, elle a quasiment doublé (la partie entière de ${\displaystyle 1000\times 1,1^{7}}$ est ${\displaystyle 1948}$) ;
• …
• au bout de 100 ans, elle a été multipliée par 13 780 ;
• la formule générale est ${\displaystyle Pop_{n}=Pop_{0}\times croissance^{n}}$ pour estimer la population après n années ayant une population de départ Pop₀, et où croissance est le facteur multiplicatif permettant de passer d'une population à la population l'année suivante.

Lorsqu'un phénomène de croissance exponentielle est continu, on peut le modéliser au moyen d'une fonction exponentielle

${\displaystyle N(t)=N(0)\mathrm {e} ^{rt}}$

où N(t) est le nombre d'individus au temps t, N(0) le nombre d'individus au temps 0, r le taux de croissance intrinsèque[5] (terme utilisé en dynamique des populations) et t le temps, ${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$ est la fonction exponentielle classique en mathématique.

Le taux de croissance par unité de temps μ et le taux de croissance intrinsèque r sont liés par la relation[6] : 1 + μ = e^r. Par exemple, un phénomène dont la croissance annuelle est de 10% est modélisé

• en modélisation discrète par la suite géométrique : ${\displaystyle u_{n}=N_{0}\times 1.1^{n}}$
• en modélisation continue par la fonction ${\displaystyle F(t)=N_{0}e^{rt}}$ où t s'exprime en année et où le taux de croissance intrinsèque est r = ln (1,1) ≈ 0,0953

Ces deux taux sont parfois confondus[7]^,[8].

Comparaison entre le modèle de Malthus et le modèle de Verhulst

Avec une croissance exponentielle la taille de la population augmente de plus en plus vite ; on parle de ce fait parfois d'explosion exponentielle. Cela donna lieu au mythe du brahmane Sissa (3 000 ans avant notre ère).

Cette évolution théorique ne résiste donc pas à l'expérience : aucun phénomène ne peut croître indéfiniment car sa croissance est limitée par le milieu dans lequel se trouve la population. Le premier à avoir soulevé un tel problème fut le pasteur Thomas Malthus en 1798 dans son Essai sur le principe de population, bien que ses prévisions sur la croissance de la population humaine ne se soient pas réalisées.

De nos jours, on admet volontiers que le développement de micro-organismes d'une culture microbiologique peut être modélisé sous forme exponentielle pour le début du développement : le premier organisme se divise en deux organismes filles, qui se divisent ensuite chacun pour en former quatre, qui se séparent pour en former huit, et ainsi de suite. Mais les contraintes du milieu (nutriment épuisé ou volume disponible atteint) rendent préférable, par la suite, le choix d'un modèle de Verhulst (1838) qui s'exprime ainsi :

• ${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}t}}=af(b-f)}$ dans le domaine du continu
• ${\displaystyle u_{n+1}=au_{n}(b-u_{n})\,}$ dans le cas discret

avec tout le caractère chaotique que peut présenter une telle suite logistique.