Modèle de Schwinger

Dans une jauge où le potentiel vecteur est mis à zéro[2], le Hamiltonien du modèle devient pour ${\displaystyle m=0}$

${\displaystyle H=-i\int \psi ^{\dagger }\sigma ^{3}\partial _{x}\psi +\int dx{\frac {E^{2}}{2g^{2}}}}$,

où ${\displaystyle \sigma ^{3}}$est une matrice de Pauli, et le champ électrique satisfait l'équation de Maxwell-Gauss ${\displaystyle \partial _{x}E=\psi ^{\dagger }\psi }$. En utilisant une technique de bosonisation on peut réécrire ce Hamiltonien

${\displaystyle H=\int {\frac {dx}{2}}[P^{2}+(\partial _{x}\phi )^{2}+{\frac {\phi ^{2}}{g^{2}}}]}$

qui est celui de l'Équation de Klein-Gordon à une dimension. Ses excitations de basse énergie sont donc des bosons massifs de spin 0. Les opérateurs de création de fermions générant une discontinuité du champ ${\displaystyle \phi (x)}$, il n'est pas possible de créer un fermion isolé, mais seulement des paires fermion-antifermion. Si le champ électrique à l'infini ne s'annule pas, on doit remplacer dans le Hamiltonien ${\displaystyle \phi ^{2}/g^{2}}$ par ${\displaystyle (\phi +\chi )^{2}/g^{2}}$ où ${\displaystyle \chi }$ est proportionnel au champ électrique à l'infini. Les opérateurs de création de fermions créant une discontinuité de ${\displaystyle \phi }$ égale à ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$, les fermions restent confinés sauf pour ${\displaystyle \chi =\pm {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$. Dans ce cas, il est possible en faisant alterner les fermions et les antifermions d'obtenir des particules déconfinées.[3]^,[4]

Pour ${\displaystyle m\neq 0}$, le Hamiltonien devient[4]

${\displaystyle H=\int {\frac {dx}{2}}[P^{2}+(\partial _{x}\phi )^{2}+{\frac {\phi ^{2}}{g^{2}}}-m\cos {\sqrt {4\pi }}(\phi -\chi )]}$

où ${\displaystyle \chi }$ comme précédemment est proportionnel au champ électrique à l'infini. Pour ${\displaystyle \chi =\pm {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$, le potentiel présente un double puits symétrique lorsque ${\displaystyle m}$ est suffisamment grand, ce qui entraîne une brisure spontanée de symétrie. La transition de phase en fonction de ${\displaystyle m}$ est dans la classe d'universalité du modèle d'Ising bidimensionnel[4].

Ce modèle expose le confinement des fermions et comme tel, est un modèle jouet pour la chromodynamique quantique. Une explication simple (bien que pas entièrement correcte[5]) est que, en deux dimensions, l'énergie potentielle (classique) entre deux particules est une fonction linéaire, au lieu de la forme en 1/r en 4 dimensions (3 d'espace et 1 de temps).

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