Moment d'un vecteur

Le moment d'un vecteur peut se définir par rapport à un point ou par rapport à un axe orienté. Le moment par rapport à un point est un vecteur, le moment par rapport à un axe est un scalaire. Les moments d'un vecteur vrai (ou vecteur polaire) sont des pseudovecteurs ou des pseudoscalaires, ceux d'un pseudovecteur sont des vecteurs vrais ou des scalaires vrais.

Définitions

Le moment d'un vecteur vrai (ou vecteur polaire) ${\vec {V}}$ (de position M) par rapport à un point O est un pseudovecteur (ou vecteur axial) défini par le produit vectoriel :
${\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} }}}({\vec {V}})={\overrightarrow {\mathrm {OM} }}\wedge {\vec {V}}$ .
Le moment d'un vecteur vrai ${\vec {V}}$ (de position M) par rapport à un axe orienté Δ (de vecteur unitaire ${\hat {u}}$ ) est un pseudoscalaire défini comme la projection de ${\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} }}}({\vec {V}})$ sur l'axe, où O est un point quelconque de l'axe[alpha 1] :
$M_{\Delta }({\vec {V}})={\hat {u}}\cdot {\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} }}}({\vec {V}})$ .
Le moment d'un pseudovecteur (ou vecteur axial) ${\overset {\hookrightarrow }{V}}$ (de position M) se définit de la même façon, par rapport à un point ou par rapport à un axe orienté :
${\overrightarrow {M_{\mathrm {O} }}}({\overset {\hookrightarrow }{V}})={\overrightarrow {\mathrm {OM} }}\wedge {\overset {\hookrightarrow }{V}}$ (c'est un vecteur vrai),

$M_{\Delta }({\overset {\hookrightarrow }{V}})={\hat {u}}\cdot {\overrightarrow {M_{\mathrm {O} }}}({\overset {\hookrightarrow }{V}})$ (c'est un scalaire vrai).

Exemples

Le moment cinétique est le moment de la quantité de mouvement :
${\overset {\hookrightarrow }{L_{\mathrm {O} }}}={\overrightarrow {\mathrm {OM} }}\wedge {\vec {p}}$ .
Le moment d'une force ( ${\overset {\hookrightarrow }{\Gamma _{\mathrm {O} }}}={\overrightarrow {\mathrm {OM} }}\wedge {\vec {F}}$ ) intervient dans le théorème du moment cinétique.
Le moment magnétique d'un circuit électrique est, au facteur $1 / 2$ près, l'intégrale du moment de l'élément de courant $I\,{\vec {\mathrm {d} l}}$ :
${\overset {\hookrightarrow }{\mu }}={\frac {1}{2}}\oint {\vec {r}}\wedge I\,{\vec {\mathrm {d} l}}$ .
Le champ magnétique produit par un circuit électrique est, à un facteur constant près, l'intégrale du moment de l'élément de courant $I\,{\vec {\mathrm {d} l}}$ divisé par le cube de la distance (loi de Biot et Savart) :
${\overset {\hookrightarrow }{B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint {\frac {{\vec {r}}\wedge I\,{\vec {\mathrm {d} l}}}{r^{3}}}$ .

Notes et références

Le calcul indiqué donne le même résultat quel que soit le point choisi (sur l'axe). En effet, si O' est un autre point de l'axe :
${\hat {u}}\cdot {\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} '}}}({\vec {V}})-{\hat {u}}\cdot {\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} }}}({\vec {V}})={\hat {u}}\cdot \left({\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} '}}}({\vec {V}})-{\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} }}}({\vec {V}})\right)={\hat {u}}\cdot \left({\overrightarrow {\mathrm {O'M} }}\wedge {\vec {V}}-{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}\wedge {\vec {V}}\right)={\hat {u}}\cdot \left[\left({\overrightarrow {\mathrm {O'M} }}-{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}\right)\wedge {\vec {V}}\right]={\hat {u}}\cdot \left({\overrightarrow {\mathrm {O'O} }}\wedge {\vec {V}}\right)=0$
puisque les vecteurs ${\hat {u}}$ et ${\overrightarrow {\mathrm {O'O} }}$ sont colinéaires (une des propriétés du produit mixte).

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[1] Le calcul indiqué donne le même résultat quel que soit le point choisi (sur l'axe). En effet, si O' est un autre point de l'axe :
${\hat {u}}\cdot {\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} '}}}({\vec {V}})-{\hat {u}}\cdot {\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} }}}({\vec {V}})={\hat {u}}\cdot \left({\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} '}}}({\vec {V}})-{\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} }}}({\vec {V}})\right)={\hat {u}}\cdot \left({\overrightarrow {\mathrm {O'M} }}\wedge {\vec {V}}-{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}\wedge {\vec {V}}\right)={\hat {u}}\cdot \left[\left({\overrightarrow {\mathrm {O'M} }}-{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}\right)\wedge {\vec {V}}\right]={\hat {u}}\cdot \left({\overrightarrow {\mathrm {O'O} }}\wedge {\vec {V}}\right)=0$
puisque les vecteurs ${\hat {u}}$ et ${\overrightarrow {\mathrm {O'O} }}$ sont colinéaires (une des propriétés du produit mixte).