Moment magnétique anomal

Au moment cinétique orbital d'une particule de charge ${\displaystyle q}$ et de masse ${\displaystyle m}$ est associé un moment magnétique orbital :

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{L}\ =\ {\frac {q}{2m}}\ {\vec {L}}}$

Le facteur ${\displaystyle q/2m}$ est appelé rapport gyromagnétique. De même, on associe à une particule de charge ${\displaystyle q}$, de masse ${\displaystyle m}$, et de spin S, un moment magnétique de spin :

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{S}\ =\ g\ {\frac {q}{2m}}\ {\vec {S}}}$

où ${\displaystyle g}$ est un nombre pur, appelé facteur de Landé (1921). Ce nombre varie selon la nature de la particule : on a approximativement ${\displaystyle g=-2}$ pour l'électron, ${\displaystyle g=+5,586}$ pour le proton, et ${\displaystyle g=-3,826}$ pour le neutron[7].

Pour l'électron, les valeurs propres du spin selon un axe sont ${\displaystyle S_{z}=\pm \hbar /2}$ ; on introduit alors le « quantum de moment magnétique » suivant, appelé magnéton de Bohr :

${\displaystyle \mu _{\rm {B}}={\frac {e\hbar }{2m_{\rm {e}}}}}$

On est ainsi amené à introduire une anomalie ${\displaystyle a}$, définie par :

${\displaystyle g\ =\ 2\ \left(\,1\,+\,a\,\right)\quad \Longleftrightarrow \quad a\ =\ {\frac {g\,-\,2}{2}}}$

La théorie quantique des champs du modèle standard permet de calculer cette anomalie. La contribution dominante vient de l'électrodynamique quantique perturbative, et se présente sous la forme d'un développement en série de puissances de la constante de structure fine ${\displaystyle \alpha }$, également appelée constante de couplage. Plus précisément, on est amené à écrire le développement suivant :

${\displaystyle a\ =\ A_{1}\ \alpha _{1}\ +\ A_{2}\ \alpha _{1}^{2}\ +\ A_{3}\ \alpha _{1}^{3}\ +\ A_{4}\ \alpha _{1}^{4}\ +\ o(\alpha _{1}^{4})}$

en puissances de ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha /\pi \simeq \ 0,002\ 322\ 819\ 465\ 36}$.

Note:

Le moment magnétique de l'électron est, à quelques millièmes près, égal au moment magnétique orbital, le magnéton de Bohr. Et cela se voit dès la première correction par Julian Schwinger. En fait la valeur de la constante de structure fine est tirée de cette formule de l'électrodynamique quantique et on obtient :

${\displaystyle 1/\alpha =137,035\ 999\ 070\ (98)}$[9].

Correction à une boucle au vertex électron-photon

Le premier terme du développement, calculé par Schwinger en 1948, vaut simplement : ${\displaystyle A_{1}=1/2}$. Ce fut le premier grand succès de la toute nouvelle électrodynamique quantique. Ce calcul, qui repose sur le diagramme de Feynman ci-contre, est aujourd'hui un exercice standard pour tout étudiant de troisième cycle débutant en théorie quantique des champs.

Malheureusement, les calculs des termes suivants sont beaucoup plus compliqués, car le nombre de diagrammes croit exponentiellement vite avec l'ordre du développement.

Ce calcul fait intervenir 7 diagrammes de Feynman. Un premier résultat – erroné – a été publié en 1950, puis revu et corrigé en 1957-1958. On obtient[8] :

${\displaystyle A_{2}\ =\ {\frac {197}{144}}\ +\ \left({\frac {1}{2}}-3\ \ln 2\right)\ \zeta (2)\ +\ {\frac {3}{4}}\ \zeta (3)}$

dont la valeur numérique est :

${\displaystyle A_{2}\ \simeq \ -\ 0,328\ 847\ 896\ 557\ 919\ 378...}$

où ${\displaystyle \zeta (s)}$ est la fonction zêta de Riemann, définie par :

${\displaystyle \zeta (s)\ =\ \sum _{n=1}^{+\infty }\ {\frac {1}{n^{s}}}\qquad \Re e(s)\ >\ 1}$

et vérifiant en particulier : ${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$.

Ce calcul fait intervenir 72 diagrammes de Feynman. Le calcul, commencé en 1969, n'a été terminé et publié qu'en 1996 (Laporta et Remmidi). On obtient une expression analytique assez compliquée (voir par exemple Knecht p.101) :

${\displaystyle \ A_{3}=A_{31}+A_{32}+A_{33}}$

${\displaystyle A_{31}={\frac {28259}{5184}}+({\frac {17101}{135}}-{\frac {596}{3}}\cdot \ln 2)\zeta (2)+{\frac {139}{18}}\zeta (3)}$

${\displaystyle A_{32}={\frac {100}{3}}({\rm {{Li}_{4}(1/2)+{\frac {1}{24}}(\ln ^{4}2-\pi ^{2}\cdot \ln ^{2}2))}}}$

${\displaystyle A_{33}=[-239\zeta (4)+166\zeta (2)\cdot \zeta (3)-215\zeta (5)]/24}$

où ${\displaystyle {\rm {{Li}_{n}\,}}}$ désigne la fonction polylogarithme :

${\displaystyle {\rm {{Li}_{n}(x)=\sum _{1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k^{n}}}.}}}$

Numériquement, on obtient :

${\displaystyle A_{3}\ \simeq \ +\ 1,181\ 241\ 456\ 587...}$

Ce calcul, qui fait intervenir 891 diagrammes de Feynman, est impossible à faire entièrement à la main en un temps raisonnable ! Il a requis l'usage intensif de l'ordinateur. T.Kinoshita, a publié en 2006 le meilleur résultat numérique^{[réf. nécessaire]}

${\displaystyle A_{4}\ \simeq \ -\ 1,728\ 3\ (35)}$

• La correction d'ordre 5 n'a pas été évaluée mais on a seulement un intervalle de confiance.

On en tire l'anomalie dite universelle pour les leptons.

Il convient alors de différencier les trois leptons: l'électron, le muon et la particule tau.

• pour l'électron : l'électron étant le lepton le plus léger, les contributions à son moment magnétique des autres leptons, des bosons vecteurs de l'interaction faible, et des quarks et gluons, sont petites, mais non négligeables à la précision actuelle. Leurs inclusions donne la prédiction théorique du modèle standard[8] :

${\displaystyle a_{\rm {th}}\ \simeq \ 0,001\ 159\ 652\ 153\ 5\ (24\ 0)}$

L'accord avec le résultat expérimental (2006,Odum, Phys.Rev.Lett 97) est à ce jour excellent[8] :

${\displaystyle a_{\rm {exp}}\ \simeq \ 0,001\ 159\ 652\ 180\ 85\ (76)}$

• pour le muon : l'expérience n'est pas aussi satisfaisante. Il est vrai que le rapport de masse de ce pseudo-électron lourd est :

${\displaystyle m_{\mu }/m_{e}=206,768\ 283\ 8\ (5\ 4)}$ et la durée de vie d'une microseconde.

et les corrections sont plus importantes, en gros de 206².

La valeur de l'anomalie du muon est pourtant affinée par les récents résultats du Laboratoire national de Brookhaven. Mais les corrections théoriques sont plus élevées ; il faut outre les corrections entre leptons, prendre en compte les corrections de l'électro-faible, et celle des hadrons. À ce jour (2006) l'anomalie est :

${\displaystyle a_{\rm {th}}\ \simeq \ 0,001\ 165\ 917\ 93\ (68)}$

${\displaystyle a_{\rm {exp}}\ \simeq \ 0,001\ 165\ 920\ 80\ (60)}$

soit environ 3 écarts-type de différence ce qui pose problème à l'heure actuelle (2008).

• pour le lepton tau ${\displaystyle \tau }$ : sa masse est encore plus grande (1.77699 (29) GeV.c^-2) et surtout sa durée de vie est 0.1 ps. Il est plus difficile à produire et la détermination de son anomalie n'a pas encore été réalisée.

Cela dit, il restera toujours à évaluer la variation de ${\displaystyle \alpha (E)}$, qui jouera encore plus à ces énergies.

• [Cladé et Julien 2018] Pierre Cladé et Lucile Julien, « Les mesures atomiques de haute précision : un outil privilégié pour tester l'électrodynamique quantique », Reflets de la physique, n^o 59,‎ sept.-oct. 2018, sect. « Images de la physique », p. 4-9 (OCLC 8675496359, DOI 10.1051/refdp/201859004, résumé, lire en ligne [PDF]).
• [Jegerlehner 2017] (en) Friedrich Jegerlehner, The anomalous magnetic moment of the muon [« Le moment magnétique anomal du muon »], Cham, Springer, coll. « Springer tracts in modern physics » (n^o 274), août 2017, 2^e éd. (1^re éd. oct. 2007), 1 vol., XVIII-693, ill. et fig., 16 × 23,5 cm, rel. (ISBN 978-3-319-63575-0 et 978-3-319-87587-3, EAN 9783319635750, OCLC 1204085386, DOI 10.1007/978-3-319-63577-4, SUDOC 203849760, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Knecht 2003] (en) Marc Knecht, « The anomalous magnetic moments of the electron and the muon », dans Bertrand Duplantier et Vincent Rivasseau (éd.), Poincaré Seminar 2002 : vacuum energy – renormalization [« Séminaire Poincaré 2002 : l'énergie du vide – la renormalisation »] (actes des deux sessions du Séminaire Poincaré 2002, tenues à Paris les 9 mars et 12 oct. 2002), Bâle, Boston et Berlin, Birkhäuser, coll. « Progress in mathematical physics » (n^o 30), avr. 2003, 1^re éd., 1 vol., 331, ill., fig. et tabl., 17 × 24 cm, rel. (ISBN 3-7643-0579-7 et 3-7643-0527-4, EAN 9783764305796, OCLC 470537812, BNF 40191250, SUDOC 077106563, présentation en ligne, lire en ligne), part. II, chap. 5, p. 265-310 [« Les moments magnétiques anomaux de l'électron et du muon »] (OCLC 208389601, lire en ligne [PDF]).
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• Sin-Itiro Tomonaga ; The story of spin, The university of Chicago press (1997), (ISBN 0-226-80794-0). Traduction anglaise d'un ouvrage paru en japonais en 1974.
• https://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0712/0712.2607v2.pdf

• [Greulich 2004] (en) Walter Greulich (éd.) (trad. de l'allemand), Dictionary of physics [« Lexicon der Physik »] [« Dictionnaire de physique »], t. I^er : A – Dysprosium, Londres et New York, Palgrave Macmillan, hors coll., avr. 2004 (réimpr. avr. 2016), 1^re éd., 1 vol., IV-660, ill., fig. et portr., 21 × 28 cm, rel. (ISBN 0-333-91236-5, EAN 9780333912362, OCLC 300264361, BNF 39124330, DOI 10.1007/978-1-349-66022-3, SUDOC 079262511, présentation en ligne, lire en ligne), s.v. anomalous magnetic moment [« moment magnétique anomal »], p. 87, col. 1-2.
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• [Basdevant et Dalibard 2005] Jean-Louis Basdevant et Jean Dalibard, Problèmes quantiques, Palaiseau, École polytechnique, coll. « Physique », avr. 2005, 1^re éd., 1 vol., 210, ill. et fig., 17 × 24 cm, br. (ISBN 2-7302-1117-9, EAN 9782730211178, OCLC 300488843, BNF 39152504, SUDOC 77034031, présentation en ligne, lire en ligne), part. A, chap. 3 (« Anomalie de moment magnétique de l'électron »), p. 43-45.

• Spin
• Moment magnétique de spin
• Moment cinétique quantique
• Moment cinétique orbital
• Théorie quantique des champs

• [CODATA 2018a] (en) Comité de données pour la science et la technologie (CODATA), « Electron magnetic moment anomaly » [« Anomalie du moment magnétique de l'électron »], symbole, expressions et valeur numérique recommandée.
• [CODATA 2018b] (en) Comité de données pour la science et la technologie (CODATA), « Muon magnetic moment anomaly » [« Anomalie du moment magnétique du muon »], symbole, expression et valeur numérique recommandée.

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