Multiensemble

Formellement, un multiensemble est un couple ${\displaystyle (A,m)}$ où ${\displaystyle A}$ est un ensemble appelé support et ${\displaystyle m}$ une fonction de ${\displaystyle A}$ dans l'ensemble des entiers naturels, appelée multiplicité (notée ${\displaystyle m}$). Dans le multiensemble ${\displaystyle (A,m)}$, l'élément ${\displaystyle x}$ apparaît ${\displaystyle m(x)}$ fois.

Un multiensemble fini se note en utilisant des accolades doubles ${\displaystyle \{\!\!\{\ldots \}\!\!\}}$ qui encadrent les éléments, ayant une multiplicité strictement positive, répétés autant de fois que celle-ci. Ainsi ${\displaystyle \{\!\!\{a,b,a,b,b,d\}\!\!\}}$ représente le multiensemble ${\displaystyle (\{a,b,c,d\},m)}$ où ${\displaystyle m}$ est la fonction telle que ${\displaystyle m(a)=2}$, ${\displaystyle m(b)=3}$, ${\displaystyle m(c)=0}$ et ${\displaystyle m(d)=1}$.

On peut également voir un multiensemble comme une liste commutative, c'est-à-dire dont on peut permuter les éléments, autrement dit comme un élément du monoïde commutatif libre sur A.

Une expression ${\displaystyle \{\!\!\{a\}\!\!\}}$ peut donc représenter des multiensembles distincts, comme ${\displaystyle (\{a\},m)}$ et ${\displaystyle (\{a,b\},m')}$ (avec ${\displaystyle m(a)=m'(a)=1}$; ${\displaystyle m'(b)=0}$). On peut contourner cette difficulté en introduisant une relation d'égalité ad hoc, ou mieux en exigeant que la multiplicité d'un élément du support soit non nulle. Pour éviter cette ambiguïté, on prend comme référence un ensemble de base ${\displaystyle M}$ sur lequel on considère les multiensembles, ainsi si ${\displaystyle M}$ est donné, les multiensembles finis sont les applications ${\displaystyle M\rightarrow \mathbb {N} }$, nulles partout sauf sur un sous-ensemble fini de ${\displaystyle M}$, ainsi ${\displaystyle \{\!\!\{a\}\!\!\}}$ est défini sans ambiguïté, comme la fonction de ${\displaystyle M}$ vers ${\displaystyle \mathbb {N} }$ qui vaut ${\displaystyle 0}$ partout sauf en ${\displaystyle a}$ où elle vaut ${\displaystyle 1}$.

Si on munit ${\displaystyle A}$ d'un ordre ${\displaystyle <}$, il est possible de définir un ordre entre les multiensembles de support ${\displaystyle A}$ que l'on appelle ordre multiensemble : ${\displaystyle (A,m)}$ est supérieur à ${\displaystyle (A,n)}$ pour l'ordre multiensemble si ${\displaystyle (A,n)}$ peut s'obtenir à partir de ${\displaystyle (A,m)}$ en remplaçant chaque élément de ${\displaystyle (A,m)}$ par un nombre quelconque d'éléments plus petits.

Exemple : si on ordonne les lettres dans l'ordre alphabétique (${\displaystyle a<b<c<d}$), alors ${\displaystyle \{\!\!\{a,a,c,d\}\!\!\}}$ est strictement plus petit que ${\displaystyle \{\!\!\{b,d,d\}\!\!\}}$.

Si on suppose que l'ordre sur ${\displaystyle A}$ est bien fondé, alors l'ordre multiensemble ainsi défini l'est aussi[1].