NSPACE

En théorie de la complexité, NSPACE désigne une famille de classes de complexité caractérisées par leur complexité en espace sur une machine de Turing non déterministe.

Plus précisément, ${\mathsf {NSPACE}}(f(n))$ est la classe des problèmes de décision qui, pour une entrée de taille $n$ , peuvent être décidés par une machine de Turing non déterministe fonctionnant en espace ${\mathcal {O}}(f(n))$ .

Définitions

Les classes de complexité NL, NPSPACE et NEXPSPACE sont définies à partir de la famille NSPACE :

{\mathsf {NL}}={\mathsf {NSPACE}}({\mathcal {O}}(\log n))

{\mathsf {NPSPACE}}=\bigcup \limits _{k\in \mathbb {N} }{\mathsf {NSPACE}}(n^{k})={\mathsf {PSPACE}}

{\mathsf {NEXPSPACE}}=\bigcup \limits _{k\in \mathbb {N} }{\mathsf {NSPACE}}\left(2^{n^{k}}\right)={\mathsf {EXPSPACE}}

Les langages rationnels peuvent être définis comme ${\mathsf {REG}}={\mathsf {DSPACE}}({\mathcal {O}}(1))={\mathsf {NSPACE}}({\mathcal {O}}(1))$ . En fait, on a même ${\mathsf {REG}}={\mathsf {DSPACE}}({\mathcal {o}}(\log \log n))={\mathsf {NSPACE}}({\mathcal {o}}(\log \log n))$ : le plus petit espace requis pour reconnaître un langage non rationnel est ${\mathcal {O}}(\log \log n)$ , et toute machine de Turing (déterministe ou non) en espace $o(\log \log n)$ reconnaît un langage rationnel[1].

La classe des langages contextuels peut être définie comme ${\mathsf {CSL}}={\mathsf {NSPACE}}({\mathcal {O}}(n))$ .

Propriétés

Hiérarchie en espace

Informellement, le théorème de hiérarchie en espace indique que disposer de plus d'espace permet de décider davantage de problèmes. Plus précisément, pour toutes fonctions $f$ et $g$ telles que $f=o(g)$ et $g$ est constructible en espace, l'inclusion stricte suivante est vérifiée :

{\mathsf {NSPACE}}(f(n))\subsetneq {\mathsf {NSPACE}}(g(n))

Théorème d'Immerman-Szelepcsényi

Le théorème d'Immerman-Szelepcsényi affirme que les classes NSPACE sont closes par complémentaire : pour toute fonction $f$ constructible en espace telle que $f(n)\geq \log n$ :

{\mathsf {NSPACE}}(f(n))={\mathsf {coNSPACE}}(f(n))

En particulier, ${\mathsf {NL}}={\mathsf {coNL}}$ .

Liens avec d'autres classes

Le théorème de Savitch relie NSPACE aux classes de complexité en mémoire déterministe DSPACE par les inclusions suivantes, pour toute fonction $f$ constructible en espace telle que $f(n)\geq \log n$ :

{\mathsf {DSPACE}}(f(n))\subseteq {\mathsf {NSPACE}}(f(n))\subseteq {\mathsf {DSPACE}}\left(f(n)^{2}\right)

Une conséquence en est que PSPACE = NPSPACE.

Par ailleurs, NSPACE est relié aux classes de complexité en temps DTIME et NTIME par les inclusions suivantes, pour toute fonction $f$ constructible en espace :

{\mathsf {NTIME}}(f(n))\subseteq {\mathsf {DSPACE}}(f(n))\subseteq {\mathsf {NSPACE}}(f(n))\subseteq {\mathsf {DTIME}}\left(2^{{\mathcal {O}}(f(n))}\right)

Notes et références

Références

(en) Andrzej Szepietowski, Turing Machines with Sublogarithmic Space, Springer Science+Business Media, 29 août 1994, 114 p. (ISBN 978-3-540-58355-4, lire en ligne), p. 28

Bibliographie

(en) Sanjeev Arora et Boaz Barak, Computational Complexity: A Modern Approach, Cambridge University Press, 20 avril 2009, 579 p. (ISBN 978-0-521-42426-4, lire en ligne).
Sylvain Perifel, Complexité algorithmique, Éditions Ellipses, 22 avril 2014, 432 p. (ISBN 978-2-729-88692-9, lire en ligne).

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[1] (en) Andrzej Szepietowski, Turing Machines with Sublogarithmic Space, Springer Science+Business Media, 29 août 1994, 114 p. (ISBN 978-3-540-58355-4, lire en ligne), p. 28