Nombre de Newman-Shanks-Williams

En mathématiques, un nombre de Newman-Shanks-Williams (parfois abrégé « nombre NSW[1] ») est un entier naturel de la forme :

S_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}+(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2}}{\text{, avec }}n\in \mathbb {N} .

Ces nombres furent initialement décrits par Morris Newman, Daniel Shanks et Hugh C. Williams (de) en 1981, pendant l'étude des groupes finis simples d'ordre carré[2].

Propriétés

La suite d'entiers $(S n)$ peut être décrite par la relation de récurrence linéaire suivante :

S_{0}=1,\quad S_{1}=1{\text{ et }}\forall n\geq 2\quad S_{n}=2S_{n-1}+S_{n-2}.

Les premiers termes de la suite sont 1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, ... (suite A001333 de l'OEIS).

Ces nombres apparaissent aussi dans la fraction continue de √2.

Nombres premiers NSW

Les cinq premiers nombres premiers NSW sont : 7, 41, 239, 9 369 319 et 63 018 038 201 (suite A088165 de l'OEIS), correspondant aux indices (nécessairement premiers) 3, 5, 7, 19 et 29 (suite A005850 de l'OEIS).

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Newman–Shanks–Williams prime » (voir la liste des auteurs).

(en) NSW number (Glossary entry), sur le site Prime Pages.
(en) M. Newman, D. Shanks et H. C. Williams, « Simple groups of square order and an interesting sequence of primes », Acta Arith., vol. 38, n^o 2,‎ 1980/81, p. 129-140 (lire en ligne).

Arithmétique et théorie des nombres

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[1] (en) NSW number (Glossary entry), sur le site Prime Pages.

[2] (en) M. Newman, D. Shanks et H. C. Williams, « Simple groups of square order and an interesting sequence of primes », Acta Arith., vol. 38, n^o 2,‎ 1980/81, p. 129-140 (lire en ligne).