Nombre de Salem

En mathématiques, un entier algébrique réel strictement supérieur à 1 est un nombre de Salem si tous ses conjugués ont un module inférieur ou égal à 1, et au moins un conjugué a un module égal à 1. Les nombres de Salem apparaissent en approximation diophantienne et en analyse harmonique. Ils sont nommés en l'honneur de Raphaël Salem.

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Propriétés

Comme il a une racine de module 1, le polynôme minimal d'un nombre de Salem α doit être égal à son polynôme réciproque. Il en résulte que :
- ¹⁄_α fait partie des conjugués de α (donc est, lui aussi, un entier algébrique)
- tous les conjugués de α ont un module égal à 1, sauf α et ¹⁄_α.
Le plus petit nombre de Salem connu est la plus grande racine réelle du polynôme de Lehmer[1] :

X^{10}+X^{9}-X^{7}-X^{6}-X^{5}-X^{4}-X^{3}+X+1~.

Ce nombre vaut approximativement 1,17628[1].

On ignore s'il existe un plus petit nombre de Salem.

Notes et références

(en) Peter Borwein, Computational Excursions in Analysis and Number Theory, New York/Berlin/Heidelberg, Springer-Verlag, coll. « CMS Books in Mathematics », 2002, 220 p. (ISBN 0-387-95444-9, lire en ligne), p. 16.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Salem number » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

(en) David Boyd, « Salem number », dans Encyclopedia of Mathematics, Springer online (lire en ligne)
(en) Small Salem numbers par Michael Mossinghoff, Davidson College (en), Caroline du Nord

Arithmétique et théorie des nombres

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