Nombre octaédrique centré

Le nom "nombre octaédrique de Haüy" honore René Just Haüy, minéralogiste français actif à la fin du XVIIIe et au début du XIXe siècle. l'"ocatèdre" de Haüy est un polycube formée par la superpossition de couches concentriques de cubes sur un cube central. Quand le nombre de couches augmente, le polycube se rapproche d'un véritable octaèdre plein. Les nombres octaédriques centrés comptent le nombre de cubes utilisés dans cette construction. Haüy a proposé cette construction, ainsi que d'autres constructions similaires de polyèdres, comme modèle pour la structure des minéraux cristallins.

Le nombre octaédrique centré d'ordre ${\displaystyle n}$, noté ${\displaystyle O_{c}(n)}$ est, de façon équivalente, le nombre de points du réseau ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{3}}$ situés à une distance d'au plus ${\displaystyle n}$ pas de l'origine, autrement dit, le nombre de points à coordonnées entières de l'octaèdre plein ${\displaystyle \left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}/|x|+|y|+|z|\leqslant n\right\}}$. Cet octaèdre peut donc être vu comme une boule fermée de rayon ${\displaystyle n}$ pour la distance de Manhattan, c'est pourquoi Luther & Mertens[1] appellent les nombres octaédriques centrés «volumes de boules de cristal».

En répartissant les cubes en ${\displaystyle 2n-1}$ couches horizontales, le nombre octaédrique centré d'ordre ${\displaystyle n}$, peut être vu comme la somme ${\displaystyle C_{c}(1)+C_{c}(2)+...C_{c}(n-1)+C_{c}(n)+C_{c}(n-1)+....+C_{c}(1)}$ où ${\displaystyle C_{c}(n)=n^{2}+(n-1)^{2}}$ est le nombre carré centré d'ordre ${\displaystyle n}$.

On obtient alors ${\displaystyle O_{c}(n)=4\sum _{k=0}^{n}{k^{2}}+2n+1={\frac {(2n+1)\left(2n^{2}+2n+3\right)}{3}}}$.

On en déduit la définition par récurrence :

${\displaystyle O_{c}(0)=1,O_{c}(n)=O_{c}(n-1)+4n^{2}+2}$.

Les premières valeurs (pour ${\displaystyle n=0,1,2,...}$) sont :

1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159,… , suite A001845 de l'OEIS.

La fonction génératrice est :

${\displaystyle \sum _{n\geqslant 0}O_{c}(n)x^{n}={\frac {(1+x)^{3}}{(1-x)^{4}}}}$.

Les nombres octaédriques centrés peuvent aussi être obtenus comme sommes de deux nombres octaédriques consécutifs (non centrés) : ${\displaystyle O_{c}(n)=O(n)+O(n+1)}$ où ${\displaystyle O(n)={{n(2n^{2}+1)} \over 3}}$.

Tracé des 63=O_c(3) chemins de Delannoy joignant (0,0) à (3,3).

Les nombres octaédriques centrés peuvent être considérés comme des nombres figurés d'une autre sorte ; ils sont en fait aussi générés par des pyramides pentagonales. Si l'on forme une suite de coquilles concentriques en trois dimensions, où la première coquille se compose d'un seul point, la deuxième coquille se compose des six sommets d'une pyramide pentagonale, et chaque coquille successive forme une pyramide pentagonale plus grande avec un nombre triangulaire de points sur chaque face triangulaire et un nombre pentagonal de points sur la face pentagonale, alors le nombre total de points redonne un nombre octaédrique centré.

Les nombres octaédriques centrés sont également les nombres de Delannoy ${\displaystyle D(n,3)}$, dénombrant certains chemins de ${\displaystyle (0,0)}$ à ${\displaystyle (n,3)}$ dans ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$.

• Arithmétique et théorie des nombres