Nombre premier équilibré

Les 17 plus petits nombres premiers équilibrés sont

5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1 103, 1 123 (voir la suite A006562 de l'OEIS).

Par exemple, 53 est le seizième nombre premier ; le quinzième et le dix-septième nombres premiers, 47 et 59, ont pour somme 106, qui a pour moitié 53, ainsi 53 est un nombre premier équilibré. Ou encore : 53 – 47 = 59 – 53 = 6 (on a ce même écart de 6 pour tous les exemples ci-dessus, sauf 5 – 3 = 7 – 5 = 2 et 211 – 199 = 223 – 211 = 12).

Quand 1 était considéré comme un nombre premier, 2 aurait pu correspondre au premier nombre premier équilibré puisque ${\displaystyle 2={(1+3) \over 2}}$.

On conjecture qu'il existe une infinité de nombres premiers équilibrés.

Trois nombres premiers consécutifs en progression arithmétique sont quelquefois appelés une CPAP-3 (Consecutive Prime Arithmetic Progression). Un nombre premier équilibré est par définition le deuxième nombre premier dans une CPAP-3. En 2014, le plus grand nombre premier équilibré connu est un nombre à 10 546 chiffres. Il a été trouvé par David Broadhurst[1] :

${\displaystyle p_{n}=1213266377\times 2^{35000}+2429,\quad p_{n}-p_{n-1}=p_{n+1}-p_{n}=2430.}$

La valeur de n n'est pas connue.

Lorsqu'un nombre premier est plus grand que la moyenne arithmétique de ses deux voisins premiers, il est appelé un nombre premier fort (en). Lorsqu'il est plus petit, il est appelé un nombre premier faible (en).

• Arithmétique et théorie des nombres