Nombre strictement non palindrome

Pour vérifier qu'un nombre n est strictement non palindrome, il suffit de vérifier qu'il n'est pas un palindrome dans toutes les bases b à partir de 2 jusqu'à n-2. La limite supérieure s'explique ainsi :

• tout nombre n ≥ 2 s'écrit 11 en base n − 1, donc n est toujours un palindrome en base n − 1 ;
• tout nombre n ≥ 2 s'écrit 10 en base n, donc n n'est jamais un palindrome en base n ;
• tout nombre n ≥ 1 a un seul chiffre en base b > n, donc n est toujours un palindrome dans ces bases.

Tout nombre strictement non palindrome supérieur à 6 est premier. Pour montrer qu'un nombre composé n > 6 ne peut pas être strictement non palindrome, il faut que pour tout n > 6 il existe une base b dans laquelle n est un palindrome.

• Si n est pair, n s'écrit 22 (un palindrome) dans la base b = n/2 − 1 (puisque n>6 alors n/2 − 1 > 2).

Quand n est impair, on écrit n = p · m où p est le plus petit facteur premier de n. Puisque n est un nombre composé alors p ≤ m.

• Si p = m = 3, alors n = 9 s'écrit 1001 (un palindrome) en base b = 2.
• Si p = m > 3, alors n s'écrit 121 (un palindrome) en base b = p − 1. (puisque p > 3, alors p − 1 > 2)
• Si p < m − 1, alors n s'écrit pp (un nombre à deux chiffres identiques donc un palindrome) en base b = m − 1.

Remarque : le cas p = m − 1 n'existe pas car p et m sont impairs.

On peut aisément vérifier que dans chaque cas la base est dans l'intervalle 2 ≤ b ≤ n − 2 et que les chiffres a_i de chaque palindrome sont dans l'intervalle 0 ≤ a_i < b. Comme ces conditions ne sont pas vérifiées si n ≤ 6, les nombres 1, 4 et 6 sont strictement non palindromes bien qu'ils ne soient pas premiers.

• Nombre premier palindrome
• Palindrome
• Nombre palindrome

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Strictly non-palindromic number » (voir la liste des auteurs).

• Arithmétique et théorie des nombres