Noyau (statistiques)

Un noyau est une fonction de pondération utilisée dans les techniques d'estimation non-paramétrique. Les noyaux interviennent dans l'estimateur par noyau pour estimer la densité de probabilité d'une variable aléatoire, ou encore dans la régression paramétrique (à noyau) pour estimer des espérances conditionnelles. Pour les séries temporelles, le noyau permet d'estimer la densité spectrale.

Définition

Un noyau est une fonction positive, intégrable et à valeurs réelles, notée K, qui doit vérifier les deux conditions suivantes :

$\int _{-\infty }^{+\infty }K(u)du=1\,;$
$K(-u)=K(u)$ pour toutes les valeurs de $u$ .

La première condition assure que l'estimation à noyau soit bien une densité de probabilité.

Si K est un noyau, alors il en ira de même pour K*, défini par K*(u) = λ⁻¹K(λ⁻¹u), où λ > 0. Cette méthode permet de choisir une échelle adaptée aux données.

Les différents noyaux courants

Plusieurs types de noyaux sont couramment utilisés: uniforme, triangle, epanechnikov, quadratique, cubique, gaussien, et circulaire.

Ci-dessous, on note $1_{(p)}\,\!$ la fonction indicatrice qui vaut 1 lorsque p est vrai, 0 sinon.

Tous les noyaux évoqués représentés dans le système de coordonnées usuel.

Uniforme

$K(u)={\frac {1}{2}}\ 1_{(|u|\leq 1)}$

Triangle

$K(u)=(1-|u|)\ 1_{(|u|\leq 1)}$

Epanechnikov

$K(u)={\frac {3}{4}}(1-u^{2})\ 1_{(|u|\leq 1)}$

Quadratique

$K(u)={\frac {15}{16}}(1-u^{2})^{2}\ 1_{(|u|\leq 1)}$

Cubique

$K(u)={\frac {35}{32}}(1-u^{2})^{3}\ 1_{(|u|\leq 1)}$

Gaussien

$K(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}u^{2}}$

Circulaire

$K(u)={\frac {\pi }{4}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}u\right)1_{(|u|\leq 1)}$

Voir aussi

Estimateur par noyau

Liens externes

Kernel Basis function.

Portail des probabilités et de la statistique

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