Noyau de Szegő

Dans l'étude mathématique des fonctions de plusieurs variables complexes, le noyau de Szegő est un noyau intégral qui donne naissance à un noyau de reproduction sur un espace de Hilbert naturel de fonctions holomorphes. Il doit son nom à son découvreur, le mathématicien hongrois Gábor Szegő .

Soit Ω un domaine borné de Cⁿ avec une frontière C², et soit A(Ω) l'ensemble des fonctions holomorphes dans Ω qui sont continues sur Ω. Définissons l'espace de Hardy H²(∂Ω) comme la fermeture, dans L²(∂Ω) des restrictions des éléments de A(Ω) à la frontière. L'intégrale de Poisson implique que chaque élément ƒ de H²(∂Ω) s'étend en une fonction holomorphe P ƒ dans Ω. De plus, pour chaque z ∈ Ω, l'application

${\displaystyle f\mapsto Pf(z)}$

définit une forme linéaire continue sur H²(∂Ω). Par le théorème de représentation de Riesz, cette forme linéaire est représentée par un noyau k_z, c'est-à-dire

${\displaystyle Pf(z)=\int _{\partial \Omega }f(\zeta ){\overline {k_{z}(\zeta )}}\,d\sigma (\zeta ).}$

Le noyau de Szegő est défini par

${\displaystyle S(z,\zeta )={\overline {k_{z}(\zeta )}},\quad z\in \Omega ,\zeta \in \partial \Omega .}$

Comme son cousin voisin, le noyau de Bergman, le noyau de Szegő est holomorphe en z. En fait, si φ_i est une base orthonormée de H²(∂Ω) constituée entièrement des restrictions de fonctions dans A(Ω), alors une application du théorème de Riesz-Fischer montre que

${\displaystyle S(z,\zeta )=\sum _{i=1}^{\infty }\phi _{i}(z){\overline {\phi _{i}(\zeta )}}.}$