Opérateur pseudo-différentiel

Rappelons qu'un opérateur différentiel linéaire d'ordre ${\displaystyle m}$ s'écrit :

${\displaystyle {\mathfrak {D}}=\sum _{|\alpha |=0}^{m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }}$

où les ${\displaystyle a_{\alpha }(x)}$, appelées coefficients de l'opérateur ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$, sont des fonctions des ${\displaystyle n}$ variables d'espace ${\displaystyle x^{k},k=1,\dots ,n}$.

On définit ici la transformée de Fourier de la fonction ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle n}$ variables par :

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi \cdot x}f(x)\;\mathrm {d} x}$.

La formule de transformation inverse s'écrit alors :

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int \mathrm {e} ^{+\mathrm {i} \xi \cdot x}{\hat {f}}(\xi )\;\mathrm {d} \xi }$.

Le symbole de l'opérateur différentiel ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ d'ordre ${\displaystyle m}$ est la fonction ${\displaystyle \sigma (x,\xi )}$ des ${\displaystyle 2n}$ variables ${\displaystyle (x,\xi )}$ polynomiale en ${\displaystyle \xi }$ :

${\displaystyle \sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=0}^{m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$.

L'opérateur différentiel ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ linéaire d'ordre ${\displaystyle m}$ vérifie alors la relation :

${\displaystyle ({\mathfrak {D}}f)(x)=\int {\frac {\mathrm {d} \xi }{(2\pi )^{n}}}\mathrm {e} ^{+\mathrm {i} \xi \cdot x}\sigma (x,\xi ){\hat {f}}(\xi )}$.

On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ à partir de son symbole ${\displaystyle \sigma (x,\xi )}$. Nous allons mettre cette idée à profit dans le paragraphe suivant.

Si les coefficients ${\displaystyle a_{\alpha }}$ de l'opérateur différentiel ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ d'ordre ${\displaystyle m}$ sont indépendants des ${\displaystyle n}$ variables d'espace ${\displaystyle x^{k}}$, son symbole est seulement une fonction ${\displaystyle \sigma (\xi )}$ des ${\displaystyle n}$ variables ${\displaystyle \xi }$ polynomiale en ${\displaystyle \xi }$ :

${\displaystyle \sigma (\xi )=\sum _{|\alpha |=0}^{m}a_{\alpha }\xi ^{\alpha }}$

de telle sorte que :

${\displaystyle ({\mathfrak {D}}f)(x)=\int {\frac {\mathrm {d} \xi }{(2\pi )^{n}}}\mathrm {e} ^{+\mathrm {i} \xi x}\sigma (\xi ){\hat {f}}(\xi )}$

soit encore, en utilisant la transformation de Fourier inverse[1] :

${\displaystyle ({\widehat {{\mathfrak {D}}f}})(\xi )=\sigma (\xi ){\hat {f}}(\xi )}$.

Soit une fonction ${\displaystyle p}$ des ${\displaystyle n}$ variables ${\displaystyle \xi }$. On associe à cette fonction un opérateur pseudo-différentiel ${\displaystyle P_{D}}$ à coefficients constants, dont l'action sur une fonction ${\displaystyle f}$ est définie par l'intégrale suivante :

${\displaystyle (P_{D}f)(x)=\int {\frac {\mathrm {d} \xi }{(2\pi )^{n}}}\mathrm {e} ^{+\mathrm {i} \xi \cdot x}p(\xi ){\hat {f}}(\xi )}$.

Pour que l'intégrale ait un sens, il faut que le symbole ${\displaystyle p(\xi )}$ présente quelques « bonnes » propriétés :

• la fonction ${\displaystyle p(\xi )}$ doit être lisse ;
• la fonction ${\displaystyle p(\xi )}$ doit avoir une croissance tempérée lorsque ${\displaystyle |\xi |\to \infty }$, cette croissance tempérée devant de plus s'améliorer par dérivation. Par analogie avec le cas d'un opérateur différentiel d'ordre ${\displaystyle m}$, où cette croissance est polynomiale, on est amené à demander ici qu'il existe un nombre ${\displaystyle m}$ tel que :

${\displaystyle \forall \alpha \quad \left|\partial _{\xi }^{\alpha }p(\xi )\right|\leq C_{\alpha }\left(1+|\xi |\right)^{m-|\alpha |}}$

où les ${\displaystyle C_{\alpha }}$ sont des constantes, qui peuvent dépendre de ${\displaystyle \alpha }$.

Soient ${\displaystyle P_{1}}$ et ${\displaystyle P_{2}}$ deux opérateurs pseudo-différentiels à coefficients constants, définis respectivement par les symboles ${\displaystyle p_{1}(\xi )}$ et ${\displaystyle p_{2}(\xi )}$. Alors, l'opérateur ${\displaystyle P=P_{1}P_{2}}$ est encore un opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants, dont le symbole est le produit ${\displaystyle p_{1}(\xi )p_{2}(\xi )}$.

Soit une fonction ${\displaystyle p(x,\xi )}$ des ${\displaystyle 2n}$ variables ${\displaystyle (x,\xi )}$. On associe à cette fonction un opérateur pseudo-différentiel ${\displaystyle P_{D}}$, dont l'action sur une fonction ${\displaystyle f}$ est définie par l'intégrale suivante :

${\displaystyle (P_{D}f)(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int \mathrm {e} ^{+\mathrm {i} \xi \cdot x}p(x,\xi ){\hat {f}}(\xi )\;\mathrm {d} \xi }$.

Remarque : on note parfois cet opérateur pseudo-différentiel à partir de son symbole de la façon suivante : ${\displaystyle P_{D}=p(x,D)}$.

Pour que l'intégrale ait un sens, il faut que le symbole ${\displaystyle p(x,\xi )}$ présente quelques « bonnes » propriétés, énoncées ci-dessous :

• la fonction ${\displaystyle p(x,\xi )}$ doit avoir une croissance tempérée lorsque ${\displaystyle |\xi |\to \infty }$, cette croissance tempérée devant de plus s'améliorer par dérivation. Par analogie avec le cas d'un opérateur différentiel d'ordre ${\displaystyle m}$, où cette croissance est polynomiale, on est amené à demander ici qu'il existe un nombre ${\displaystyle m}$ tel que ${\displaystyle \forall \alpha \quad \left|\partial _{\xi }^{\alpha }p(x,\xi )\right|\leq C_{\alpha }\left(1+|\xi |\right)^{m-|\alpha |}}$ où les ${\displaystyle C_{\alpha }}$ sont des constantes, qui peuvent dépendre de ${\displaystyle \alpha }$ ;
• la fonction ${\displaystyle p(x,\xi )}$ doit avoir une variation lente dans les variables d'espace ${\displaystyle x}$. On demande explicitement que ${\displaystyle \forall \alpha ,\quad \left|\partial _{x}^{\alpha }p(x,\xi )\right|\leq C_{\alpha }\left(1+|\xi |\right)^{m}}$.

Ces deux conditions peuvent être combinées en une seule, utilisée ci-dessous pour définir plus précisément la classe des symboles d'ordre ${\displaystyle m}$.

Soit ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ un compact, et ${\displaystyle p(x,\xi )}$ une fonction lisse de ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\Omega \times \mathbb {R} ^{n})}$. Soit ${\displaystyle m}$ un nombre réel quelconque. La classe ${\displaystyle S^{m}(\Omega \times \mathbb {R} ^{n})}$ des symboles d'ordre ${\displaystyle m}$ est définie par :

${\displaystyle S^{m}(\Omega \times \mathbb {R} ^{n})=\left\{p(x,\xi )\mid \left|\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }p(x,\xi )\right|\leq C_{\alpha ,\beta ,\Omega }\left(1+|\xi |\right)^{m-|\alpha |}\right\}}$

pour tout ${\displaystyle x\in \Omega }$, ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}$, et pour tous les multi-indices ${\displaystyle \alpha ,\beta }$. Les ${\displaystyle C_{\alpha ,\beta ,\Omega }}$ sont des constantes, qui peuvent dépendre de ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ et ${\displaystyle \Omega }$.

Remarque : lorsque la mention du compact ${\displaystyle \Omega }$ est indifférente, on note simplement : ${\displaystyle S^{m}=S^{m}(\Omega \times \mathbb {R} ^{n})}$.

On note souvent ${\displaystyle \Psi ^{m}}$ l'ensemble des opérateurs pseudo-différentiels à symbole dans ${\displaystyle S^{m}}$

On appelle support singulier d'une distribution ${\displaystyle u}$ le complémentaire de l'ensemble des points au voisinage desquels ${\displaystyle u}$ est une fonction ${\displaystyle C^{\infty }}$.

Soient ${\displaystyle p_{j},(j=1,2)}$ des éléments de ${\displaystyle S^{m_{j}}(\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n})}$. Alors l'opérateur ${\displaystyle p_{1}(x,D)\circ p_{2}(x,D)}$ est aussi un opérateur pseudo-différentiel, dont le symbole, qui appartient à ${\displaystyle S^{m_{1}+m_{2}}}$ est donné par une somme asymptotique dont le premier terme est ${\displaystyle p_{1}(x,\xi )p_{2}(x,\xi )}$

On note ${\displaystyle H^{s}(\mathbb {R} ^{n})}$ l'espace de Sobolev standard d'ordre ${\displaystyle s}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Soient ${\displaystyle s}$ et ${\displaystyle m}$ deux nombres réels. Un opérateur pseudo-différentiel d'ordre ${\displaystyle m}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (c.-à-d. un élément de ${\displaystyle \Psi ^{m}}$) est continu de ${\displaystyle H^{s}(\mathbb {R} ^{n})}$ dans ${\displaystyle H^{s-m}(\mathbb {R} ^{n})}$.

Soit ${\displaystyle a\in S^{m}}$ et soit ${\displaystyle K}$ le noyau de ${\displaystyle a(x,D)}$. Alors ${\displaystyle K}$ est ${\displaystyle C^{\infty }}$ pour ${\displaystyle x\neq y}$. En particulier, pour toute distribution tempérée ${\displaystyle u}$, supp sing ${\displaystyle a(x,D)u\subset }$ supp sing ${\displaystyle u}$.