Opérateur (mathématiques)

Soient E et F deux espaces vectoriels topologiques. Un opérateur O est une application de E dans F :

${\displaystyle O\$ :\quad E\ \to \ F}

Un opérateur ${\displaystyle O:E\to F}$ est linéaire si et seulement si :

${\displaystyle \forall (\lambda ,\mu )\in K^{2},\ \forall (x_{1},x_{2})\in E^{2},\quad O(\lambda x_{1}+\mu x_{2})\ =\ \lambda O(x_{1})+\mu O(x_{2})}$

où K est le corps des scalaires de E et F.

Lorsque E est un ${\displaystyle \mathbb {K} }$-espace vectoriel, et que ${\displaystyle F=\mathbb {K} }$ (c'est un corps), un opérateur est une forme linéaire sur E.

On étend la définition précédente à des applications linéaires définies seulement sur un sous-espace vectoriel de E, qu'on appelle alors domaine de définition de l'opérateur.

Par définition de la continuité :

• Soient O un opérateur de domaine ${\displaystyle D_{0}\subset E}$ et à valeurs dans F, et ${\displaystyle x_{0}\in D_{O}}$. L'opérateur O est dit continu en ${\displaystyle x_{0}}$ si et seulement si pour tout voisinage V de ${\displaystyle y_{0}=O(x_{0})}$, il existe un voisinage ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle x_{0}}$ tel que :

${\displaystyle \forall x\,\in \,U\cap D_{O}\ ,\quad O(x)\,\in \,V}$

• L'opérateur O est dit continu si et seulement s'il est continu en tous les points ${\displaystyle x_{0}\in D_{O}}$ de son domaine.