Opérations sur les équivalents

Si ${\displaystyle f_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{1}}$ et ${\displaystyle f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{2}}$ alors ${\displaystyle f_{1}f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{1}g_{2}}$.

On en déduit, si ${\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,g}$ :

• pour tout ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} ^{*}}$, ${\displaystyle \lambda f\,{\underset {a}{\sim }}\,\lambda g}$ ;
• pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$, ${\displaystyle f^{n}\,{\underset {a}{\sim }}\,g^{n}}$.

En supposant, pour que les quotients soient définis, que ${\displaystyle f_{2}}$ et ${\displaystyle g_{2}}$ ne s'annulent pas au voisinage de a, sauf peut-être en a :

si ${\displaystyle f_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{1}}$ et ${\displaystyle f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{2}}$ alors ${\displaystyle {\frac {f_{1}}{f_{2}}}\,{\underset {a}{\sim }}\,{\frac {g_{1}}{g_{2}}}}$.

En particulier :

si ${\displaystyle f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{2}}$ alors ${\displaystyle {\frac {1}{f_{2}}}\,{\underset {a}{\sim }}\,{\frac {1}{g_{2}}}}$.

En supposant, pour que leurs puissances d'exposant quelconque soient définies, que f et g sont strictement positives au voisinage de a :

si ${\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,g}$ alors, pour tout ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle f^{\alpha }\,{\underset {a}{\sim }}\,g^{\alpha }}$.

Si ${\displaystyle \lim _{a}h=b}$ et si ${\displaystyle f\,{\underset {b}{\sim }}\,g}$ alors ${\displaystyle f\circ h\,{\underset {a}{\sim }}\,g\circ h}$.

Pour la composition à gauche, il n'existe pas de théorème général. Cependant, on peut remarquer certains cas particuliers.

Si ${\displaystyle f_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{1}{\text{ et }}f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{2}}$ et si (au voisinage de a) ${\displaystyle g_{1}}$ et ${\displaystyle g_{2}}$ sont de même signe et ne s'annulent pas simultanément, alors ${\displaystyle f_{1}+f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{1}+g_{2}}$.

En supposant, pour que leurs logarithmes soient définis, que f et g sont strictement positives au voisinage de a :

si ${\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,g}$ et si ${\displaystyle \lim _{a}g=+\infty }$ ou ${\displaystyle \lim _{a}g=0}$ (ou plus généralement : si ${\displaystyle g}$ « ne s'approche pas » de 1), alors ${\displaystyle \ln \circ f\,{\underset {a}{\sim }}\,\ln \circ g}$.

${\displaystyle {\rm {e}}^{f}\,{\underset {a}{\sim }}\,{\rm {e}}^{g}\Leftrightarrow \lim _{a}(f-g)=0}$.

Sans hypothèses supplémentaires (voir supra), on ne peut pas faire la somme ou la différence de fonctions équivalentes.

Par exemple, ${\displaystyle 1+x\,{\underset {x\to 0}{\sim }}\,1}$ mais ${\displaystyle (1+x)+(-1)\,{\underset {x\to 0}{\nsim }}\,1+(-1)}$.

De ${\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,g}$, on ne peut pas déduire ${\displaystyle {\rm {e}}^{f}\,{\underset {a}{\sim }}\,{\rm {e}}^{g}}$.

En effet, ${\displaystyle f-g\,{\underset {a}{=}}\,o(g)\not \Rightarrow \lim _{a}(f-g)=0}$ (voir supra).

Par exemple, ${\displaystyle 1\,{\underset {x\to \infty }{=}}\,o(x)}$ mais ${\displaystyle \lim _{+\infty }1\neq 0}$.

De ${\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,g}$, on ne peut pas déduire ${\displaystyle \ln \circ f\,{\underset {a}{\sim }}\,\ln \circ g}$.

En effet, si ${\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,1}$ alors (voir supra) ${\displaystyle \ln \circ f\,{\underset {a}{\sim }}\,f-1}$, or en général ${\displaystyle f-1\,{\underset {a}{\nsim }}\,0}$.

Par exemple ${\displaystyle 1+x\,{\underset {x\to 0}{\sim }}\,1}$ mais ${\displaystyle x\,{\underset {x\to 0}{\nsim }}\,0}$.

L'hypothèse que ${\displaystyle g}$ « ne s'approche pas » de 1 (voir supra) est indispensable.

Si ${\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,g}$ et si f et g sont dérivables, on ne peut pas conclure que ${\displaystyle f'\,{\underset {a}{\sim }}\,g'}$.

Par exemple quand x tend vers 0, ${\displaystyle f(x)=1+x}$ et ${\displaystyle g(x)=1}$ sont équivalentes, mais ${\displaystyle f'(x)=1}$ et ${\displaystyle g'(x)=0}$, donc ${\displaystyle f'\,{\underset {0}{\nsim }}\,g'}$.