Orthogone de Lill

L'orthogone de Lill est une méthode de résolution graphique des équations polynomiales, popularisée par l'autrichien Eduard Lill (1830-1900).

Construction

Considérons une équation cubique :

Pour l'illustration graphique, on choisit :

Construction de l'orthogone.

La première étape est de construire l'orthogone de Lill. Le plan est doté d'un repère orthonormé . À partir du point O, on construit des segments successifs, dont les longueurs correspondent aux coefficients du polynôme. Le segment OM est de longueur A et orienté selon . M se situerait donc à gauche de O si a était négatif. Le segment MN est de longueur b selon , et ainsi de suite : entre chaque segment on tourne de 90° dans le sens antihoraire.

Utilisation pour évaluer le polynône pour x= -0.5.

L'orthogone de Lill permet d'évaluer le polygone pour une valeur de x donnée. Ici, on l'illustre pour . On trace un premier segment OS. L'angle entre OM et OS est tel que et S se situe sur la droite (MN). On vérifie aisément que :

et donc :

Après le point S, la construction se poursuit avec un angle droit, jusqu'à croiser (NP) au point T. On retrouve le même angle .

On a donc : Et

On réitère l'opération, avec un nouvel angle droit, et le tracé atteint la droite (PQ) au point U.

Et enfin, le vecteur QU, projecté selon , n'est autre que l'évaluation du polynôme pour x :

Notre polynôme admet trois racines.

Résoudre l'équation, c'est donc trouver les angles alpha pour lesquels les points Q et U sont confondus. Dans le polynôme pris pour exemple, il y a trois racines, -1, -2, et -3. Les tracés correspondant sont illustrés en bleu, rouge et vert.

Origami

La mathématicienne italienne Margherita Piazzola Beloch a découvert et publié, en 1936, une méthode basée sur l'orthogone de Lill pour résoudre une équation cubique par origami. Elle a ainsi, prouvé pour la première fois que l'origami était un outil mathématique plus puissant que la construction à la règle et au compas, qui ne peut résoudre, au plus, qu'une équation quadratique[1].

Voir aussi

Notes et références

  1. Thomas C. Hull, « Solving Cubics With Creases: The Work of Beloch and Lill », The American Mathematical Monthly, vol. 118, no 4, , p. 307 (DOI 10.4169/amer.math.monthly.118.04.307, lire en ligne, consulté le )
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