Ovale de Cassini

En mathématiques, un ovale de Cassini est un ensemble de points du plan tel que le produit des distances de chaque point p de l'ovale à deux autres points fixés q₁ et q₂ est constant, c’est-à-dire de telle sorte que le produit

{\mbox{dist}}(q_{1},p){\mbox{dist}}(q_{2},p)\,(=b^{2})\,

Quelques ovales de Cassini. Les foyers sont (-1, 0) et (1, 0).

soit constant. Les points q₁ et q₂ sont appelés les foyers de l'ovale.

Les ovales de Cassini sont nommés d'après Giovanni Domenico Cassini.

Si l'on note b² le produit constant qui précède, et a celle-ci:

a={\frac {1}{2}}{\mbox{dist}}(q_{1},q_{2}).

La forme de l'ovale dépend du rapport b/a.

Si b/a est plus grand que 1, le lieu est une boucle simple et continue.
Si b/a est plus petit que 1, le lieu est composé de deux boucles non sécantes.
Si b/a est égal à 1, le lieu est une lemniscate de Bernoulli.

Équations

Si les foyers des ovales sont (a, 0) et (−a, 0), alors l'équation de la courbe est donnée par

((x-a)^{2}+y^{2})((x+a)^{2}+y^{2})=b^{4}.\,

Ou, en coordonnées polaires

r^{4}-2a^{2}r^{2}\cos 2\theta =b^{4}-a^{4}.\,

Propriétés

Trajectoires orthogonales

Les hyperboles équilatères (en noir) admettent comme trajectoires orthogonales des ovales de Cassini (ici, a = 1)

Les ovales de Cassini sont les trajectoires orthogonales aux hyperboles équilatères, de centre (0, 0) et passant par le point (1, 0).

En effet, les équations de telles hyperboles sont

y^{2}-x^{2}+\lambda xy+1=0,\,\lambda \in \mathbb {R} .

Leur équation différentielle s'écrit ainsi :

(x^{2}+y^{2}+1)y\,dx-(x^{2}+y^{2}-1)x\,dy=0.

Ce qui donne l'équation des trajectoires orthogonales :

(x^{2}+y^{2}+1)y\,dy+(x^{2}+y^{2}-1)x\,dx=0=d\left({\frac {1}{4}}(x^{2}+y^{2})^{2}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {y^{2}}{2}}\right).

Les trajectoires orthogonales sont donc d'équation

(x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}+2y^{2}=\mu ,\,\mu \in \mathbb {R} ,

et on retrouve bien l'équation des ovales de Cassini.

Sections planes d'un tore

On obtient des ovales de Cassini par intersection d'un tore par un plan parallèle à son axe et à une distance égale au rayon du cercle générateur.

Voir détails en anglais.

Généralisations

On peut faire de même avec plus de 2 foyers, ou plus de 2 dimensions.

Voir détails en anglais.

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Cassini Ovals », sur MathWorld
Robert Ferréol, « Ovale de Cassini », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables

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