Paire

Une paire est un ensemble qui comprend exactement deux éléments.

Remarques

Une paire qui contient deux éléments $a$ et $b$ se note $\left\{a,b\right\}$ .
L'ordre d'écriture de la paire n'a pas d'importance: $\{a,b\}=\{b,a\}$ . Ceci différencie la paire du couple.
Le cardinal d'une paire est 2.
L'ensemble $\left\{a,a\right\}$ n'est pas une paire mais un singleton et se note aussi $\left\{a\right\}$ [note 1].

Exemples

$\left\{1,3\right\}$ (avec une espace après la virgule) est la paire comprenant les entiers $1$ et $3$ .
$\left\{\sin ,\exp \right\}$ est une paire de fonctions.
$\left\{\{1\},\{1,2\}\right\}$ est une paire composée du singleton $\left\{1\right\}$ et de la paire $\left\{1,2\right\}$ .
$\left\{5,A\right\}$ est une paire composée du nombre $5$ et de l'élément $A$ .
$\left\{7,2\right\}=\{2,7\}$ alors que $(7,2)\neq (2,7)$

Propriétés

Appartenance d'un élément à une paire (ou à un singleton)

Un élément x appartient à une paire si et seulement s'il est égal à l'un des deux éléments de cette paire. Cet énoncé est en fait tout autant valable pour un singleton. On peut donc l'écrire formellement, pour a et b donnés :

∀x, x ∈ {a, b} ⇔ (x = a ou x = b)

(le « ou » en question désigne, comme d'habitude en mathématiques, une disjonction inclusive : l'énoncé reste vrai si x = a et x = b).

Cette proposition caractérise les paires (ou singletons). Dans l'axiomatisation de la théorie des ensembles, il y a un axiome spécifique, appelé axiome de la paire, qui exprime pour tout $a$ et $b$ l'existence d'une paire $\{a,b\}$ et qui se fonde sur cette proposition.

Égalité de deux paires

Deux paires sont égales si et seulement si leurs éléments sont égaux deux à deux, de l'une des deux façons dont on peut les associer. Plus précisément, pour deux paires ou singletons {a, b} et {c, d} :

{a, b} = {c, d} ⇔ [(a = c et b = d) ou (a = d et b = c)].

Autres propriétés

Un raisonnement simple de dénombrement montre que le nombre de paires d'un ensemble fini à $n$ éléments est égal à $n (n - 1) / 2$ (voir l'article « Combinaison »).

Histoire

Von Neumann, dans son article de 1923[1]^,[2], qui est un des premiers sur la théorie des ensembles, note les paires $(a,b)$ , comme nous noterions aujourd'hui les couples. Remarquons qu'il définit l'entier $2$ comme étant la paire $\left\{\varnothing ,\{\varnothing \}\right\}$ , qu'il écrit $\left(\mathbf {O} ,(\mathbf {O} )\right)$ .

Notes et références

Notes

En théorie des ensembles, on appelle « paire » un ensemble de deux éléments non nécessairement distincts. L'axiome de la paire fait par exemple aussi bien référence aux paires qu'aux singletons. En revanche, en combinatoire, une paire doit bien être formée de deux éléments distincts.

Références

(de) Johann von Neumann, « Zur Einführung der transfiniten Zahlen », Acta litterarum ac scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum, vol. 1,‎ 1923, p. 199-208 (lire en ligne).
(en) John von Neumann, « On the introduction of transfinite numbers », dans Jean van Heijenoort, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard University Press, janvier 2002, 3^e éd. (ISBN 0-674-32449-8, présentation en ligne, lire en ligne), p. 346-354.

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[1] En théorie des ensembles, on appelle « paire » un ensemble de deux éléments non nécessairement distincts. L'axiome de la paire fait par exemple aussi bien référence aux paires qu'aux singletons. En revanche, en combinatoire, une paire doit bien être formée de deux éléments distincts.

[vonNeumann1-2] (de) Johann von Neumann, « Zur Einführung der transfiniten Zahlen », Acta litterarum ac scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum, vol. 1,‎ 1923, p. 199-208 (lire en ligne).

[vonNeumann2-3] (en) John von Neumann, « On the introduction of transfinite numbers », dans Jean van Heijenoort, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard University Press, janvier 2002, 3^e éd. (ISBN 0-674-32449-8, présentation en ligne, lire en ligne), p. 346-354.