Paradoxe de la dichotomie

Le paradoxe de la dichotomie est un paradoxe formulé par Zénon d'Élée pendant l'Antiquité :

« Quand des masses égales se déplacent à même vitesse, les unes dans un sens, les autres dans le sens contraire, le long de masses égales et qui sont immobiles, le temps que mettent les premières à traverser les masses immobiles est égal au double du même temps. »

Version différente : le paradoxe de la pierre lancée vers un arbre, est une variante du précédent. Zénon se tient à huit mètres d'un arbre, tenant une pierre. Il lance sa pierre dans la direction de l'arbre. Avant que le caillou puisse atteindre l'arbre, il doit traverser la première moitié des huit mètres. Il faut un certain temps, non nul, à cette pierre pour se déplacer sur cette distance. Ensuite, il lui reste encore quatre mètres à parcourir, dont elle accomplit d'abord la moitié, deux mètres, ce qui lui prend un certain temps. Puis la pierre avance d'un mètre de plus, progresse après d'un demi-mètre et encore d'un quart, et ainsi de suite ad infinitum et à chaque fois avec un temps non nul. Zénon en conclut que la pierre ne pourra pas frapper l'arbre, puisqu'il faudrait pour cela que soit franchie effectivement une série infinie d'étapes, ce qui est impossible. Le paradoxe se résout en soutenant que le mouvement est continu ; le fait qu'il soit divisible à l'infini ne le rend pas impossible pour autant.

De plus, en analyse moderne, le paradoxe est résolu en utilisant le fait que la somme d'une infinité de nombres strictement positifs peut être finie, comme c'est le cas ici où les nombres sont définis comme les termes d'une suite tendant vers 0.

Résolution du paradoxe par l'analyse moderne

Notons $t_{0}$ le temps mis par la pierre pour parcourir la moitié de la distance qui la sépare de l'arbre, $t_{1}$ le temps mis pour parcourir la moitié de la distance restante, etc. La durée totale du trajet est la somme des durées des morceaux de trajet, c'est-à-dire $t_{0}+t_{1}+...+t_{n}+...$ Zénon pensait que cette somme était nécessairement infinie, d’où le paradoxe. Or nous savons que cette durée totale n'est pas infinie puisque le caillou atteint l'arbre. Il semble donc que la série de terme général $t_{n}$ converge. C'est ce qu'on se propose de démontrer en supposant que la vitesse de la pierre est constante .

La vitesse étant constante, on a $t_{1}=t_{0}/2$ , $t_{2}=t_{1}/2$ et plus généralement

$\forall n\in \mathbb {N}$ $t_{n+1}={\frac {t_{n}}{2}}$ Ainsi la suite $(t_{n})_{n}\in \mathbb {N}$ est géométrique d’où l'on tire $\forall n\in \mathbb {N}$ $t_{n}={\frac {t_{0}}{2^{n}}}$ Les sommes partielles ont donc une expression simple

$\sum _{n=0}^{N}t_{n}=\sum _{n=0}^{N}{\frac {t_{0}}{2^{n}}}=t_{0}{\frac {1-(1/2)^{N+1}}{1-(1/2)}}$ On en déduit que $\sum t_{n}$ converge et que $\sum _{n=0}^{\infty }t_{n}=t_{0}{\frac {1}{1-(1/2)}}=2t_{0}$ La pierre effectue donc une infinité de trajets en un temps fini et égal a $2t_{0}$ , Notons que $2t_{0}$ est le double du temps qu'il a fallu à la pierre pour parcourir la première moitié du trajet.

Voir aussi

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