Paradoxe des deux enveloppes

L'espérance mathématique permet de définir sur un grand nombre d'épreuves le gain moyen d'une loi de probabilité.

Afin de déterminer le gain moyen obtenu par le choix d’une enveloppe, on associe à la première enveloppe (resp. la seconde) la variable aléatoire ${\displaystyle X_{1}}$ (resp. ${\displaystyle X_{2}}$).

La loi de probabilité de la variable aléatoire ${\displaystyle X_{1}}$ est l’ensemble des 2 solutions possibles proposées par le jeu (noté sous la forme {valeur ; probabilité d’apparition}) : ${\displaystyle \{M\,;50\%\}}$ et ${\displaystyle \{2M\,;50\%\}}$, où ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle 2M}$ sont les deux montants possibles proposés par le jeu.

Pour la variable aléatoire ${\displaystyle X_{2}}$, l’ensemble est constitué de façon similaire : ${\displaystyle \{2M\,;50\%\}}$ et ${\displaystyle \{M\,;50\%\}}$[6].

L’espérance du contenu de l’enveloppe 1 est par définition : ${\displaystyle E_{1}=E(X_{1})=50\%.M+50\%.2M=3/2.M}$.

Pour l’enveloppe 2, on a de façon similaire : ${\displaystyle E_{2}=E(X_{2})=50\%.2M+50\%.M=3/2.M}$.

On constate que ${\displaystyle E_{1}=E_{2}=3/2.M}$, ce qui est logique car les deux enveloppes ont un rôle identique.

Si l'on change d’enveloppe, par exemple de l’enveloppe 1 à l’enveloppe 2, on obtient l’espérance ${\displaystyle E_{12}}$ d’obtenir le gain de l’enveloppe 2 moins celui obtenu avec l’enveloppe 1 : ${\displaystyle E_{12}=E(X_{2}-X_{1})=E(X_{2})-E(X_{1})}$

Ceci est dû à la propriété de linéarité des calculs d’espérance.

On conclut ${\displaystyle E_{12}=0}$.

De façon similaire ${\displaystyle E_{21}=E_{12}=0}$.

Sur un grand nombre d’épreuves, on ne peut pas espérer de gain en permutant les choix des enveloppes.

Si l’on considère les 2 changements possibles[5] :

• passer d’un montant ${\displaystyle M}$ à un montant ${\displaystyle 2M}$ ;
• passer d’un montant ${\displaystyle 2M}$ à un montant ${\displaystyle M}$.

On obtient resp. deux gains possibles :

• le premier est positif de valeur ${\displaystyle +M}$ avec une probabilité d’apparition de 50% ;
• le second est négatif de valeur ${\displaystyle -M}$ avec une probabilité d’apparition de 50%.

Ceci définit une seconde loi de probabilité avec deux issues possibles (noté {valeur ; probabilité}) : ${\displaystyle \{+M\,;50\%\}}$ et ${\displaystyle \{-M\,;50\%\}}$.

Cette seconde loi de probabilité a pour espérance : ${\displaystyle E_{ch}=1/2.M-1/2.M=0}$.

Ce calcul aboutit lui aussi à un gain moyen nul, il s'agit simplement d'une alternative au calcul détaille de ${\displaystyle E_{12}}$ ou de ${\displaystyle E_{21}}$.

Il est intéressant de voir en quoi le raisonnement de l’animateur aurait un défaut. Celui-ci propose la formule suivante :

${\displaystyle E_{pr}=50\%.2M_{c}+50\%.M_{c}/2}$ où ${\displaystyle M_{c}}$ est le montant de l’enveloppe choisie. On note que l’on ne connait pas ${\displaystyle M_{c}}$ qui vaut soit ${\displaystyle M}$, soit ${\displaystyle 2M}$.

Par définition de l’espérance mathématique d’une loi de probabilité, on obtient de cette formule les deux solutions (noté {valeur ; probabilité d’apparition}) : ${\displaystyle \{2M_{c}\,;50\%\}}$ et ${\displaystyle \{M_{c}/2\,;50\%\}}$.

Pour chacune de ces deux solutions, il faut envisager les deux cas possibles ${\displaystyle M_{c}=M}$ et ${\displaystyle M_{c}=2M}$ :

• dans le premier cas, on obtient ${\displaystyle (2M\,;50\%)}$ et ${\displaystyle (M/2\,;50\%)}$ ;
• dans le second : ${\displaystyle (4M\,;50\%)}$ et ${\displaystyle (M\,;50\%)}$.

On constate que les solutions possibles ${\displaystyle (M/2\,;50\%}$) et ${\displaystyle (4M\,;50\%}$) sont contraires aux hypothèses et invalident le raisonnement du présentateur.

En examinant de plus près la formule du présentateur, les deux solutions ${\displaystyle \{2M_{c}\,;50\%\}}$ et ${\displaystyle \{M_{c}/2\,;50\%\}}$ définissent une autre loi de probabilité. Ainsi ${\displaystyle E_{pr}}$ correspond à un autre protocole :

• ouvrir l’enveloppe choisie,
• lire son contenu ${\displaystyle M_{c}}$,
• puis remplacer (avec des probabilités égales) le contenu de la seconde par ${\displaystyle 2M_{c}}$ ou ${\displaystyle M_{c}/2}$.

Le présentateur a commis une confusion entre deux lois de probabilité distinctes.

Pour résumer, le présentateur raisonne sur l'Univers ${\displaystyle \{2M_{c}\,;M_{c}/2\}}$ correspondant au protocole juste ci-dessus, alors que l'Univers du paradoxe des deux enveloppes est ${\displaystyle \{M\,;2M\}}$.

Supposons que ${\displaystyle E_{12}>0}$. Que se passerait-il si l’on permutait plusieurs fois ? Il faudrait détailler les calculs de ${\displaystyle E_{121}}$, ${\displaystyle E_{1212}}$, etc. On pourrait conjecturer une impossibilité, par exemple obtenir les deux relations incompatibles ${\displaystyle E_{121}>E_{12}>0}$ et ${\displaystyle E_{121}=E_{1}=0}$.

Il est cependant possible, en fonction de la modélisation exacte du raisonnement de l'animateur, de considérer que l'erreur réside dans l'interprétation des espérances et non dans leur calcul : David Madore fait ainsi remarquer[3] que si l'on considère qu'il y a deux variables aléatoires, ${\displaystyle X_{1}}$, valant ${\displaystyle M}$ ou ${\displaystyle 2M}$, et correspondant (avec probabilités ${\displaystyle (1/2\,;1/2)}$) au contenu de la première enveloppe, et ${\displaystyle X_{2}}$, valant ${\displaystyle 2M}$ ou ${\displaystyle M}$, et correspondant au contenu de la seconde enveloppe, alors l'espérance de ${\displaystyle X_{1}}$ est bien égale à celle de ${\displaystyle X_{2}}$ et vaut ${\displaystyle 3M/2}$. Cependant l'espérance du rapport ${\displaystyle X_{2}/X_{1}}$ vaut ${\displaystyle (2M/M+M/2M)/2=5/4}$ ; l'erreur de raisonnement consiste alors à interpréter ce dernier résultat comme signifiant que ${\displaystyle X_{2}}$ est plus intéressant que ${\displaystyle X_{1}}$ (et donc qu'il faut changer d'enveloppe), alors que la seule conclusion à en tirer est le résultat surprenant, mais nullement paradoxal, que : ${\displaystyle E(X_{2}/X_{1})=E(X_{1}/X_{2})>1}$.