Paradoxe des pesticides

Les variables sont les suivantes :

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\text{population des proies à un moment donné}}\\P&={\text{population de prédateurs à un moment donné}}\\c&={\text{constante de capture}}\\r&={\text{taux de croissance de la population des proies}}\\a&={\text{fraction d'énergie des proies assimilée par les prédateurs et transformée en nouveaux prédateurs}}\\m&={\text{taux de mortalité des prédateurs}}\\\end{aligned}}}$

Les deux équations suivantes sont les équations de Lotka-Volterra originales, qui décrivent la vitesse de variation de chacune des deux populations en fonction de la population de l'autre organisme :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dH}{dt}}&=rH-cHP\\{\frac {dP}{dt}}&=acHP-mP\\\end{aligned}}}$

En mettant chaque équation à zéro, donc dans l'hypothèse d'une population stable, un graphique de deux lignes (isoclines) peut être tracé pour trouver le point d'équilibre, c'est-à-dire le point où les deux populations en interaction sont stables.

Voici les isoclines des deux équations ci-dessus :

${\displaystyle P={\frac {r}{c}}\quad {\text{et}}\quad H={\frac {m}{ac}}}$

Isoclines prédateurs-proies avant et après l'application des pesticides : l'abondance des ravageurs a augmenté.

Pour tenir compte de la différence dans la dynamique des populations de prédateurs et de proies qui résulte de l'ajout de pesticides, la variable q est ajoutée pour représenter le taux per capita auquel les deux espèces sont tuées par le pesticide. Les équations de Lotka-Volterra originales sont modifiées comme suit:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dH}{dt}}&=H(r-cP-q)\\{\frac {dP}{dt}}&=P(acH-m-q)\\\end{aligned}}}$

En résolvant les isoclines comme on l'a fait ci-dessus, les équations suivantes représentent les deux lignes dont l'intersection représente le nouveau point d'équilibre. Ce sont les nouvelles isoclines des deux populations :

${\displaystyle P={\frac {r-q}{c}}\quad {\text{et}}\quad H={\frac {m+q}{ac}}}$

Comme on peut le voir avec les nouvelles isoclines, le nouvel équilibre aura une valeur de H supérieure et une valeur de P inférieure de sorte que le nombre de proies augmente alors que le nombre de prédateurs diminue. Ainsi les proies, normalement ciblées par le pesticide, ont au contraire été favorisées.

Une alternative crédible et simple au modèle prédateur-proie de Lotka-Volterra et à ses généralisations communes de proies-dépendantes est le modèle ratio-dépendant ou modèle d'Arditi-Ginzburg[1]. Ces deux modèles sont aux extrêmes du spectre des modèles d'interférence des prédateurs. Selon les auteurs du second modèle, les véritables interactions dans la nature sont si éloignées du modèle Lotka-Volterra, l'autre extrême sur le spectre d'interférence, que ce modèle doit simplement être écarté comme mauvais. La réalité est beaucoup plus proche du modèle ratio-dépendant, donc si un modèle simple est nécessaire, le modèle Arditi-Ginzburg est préférable comme première approximation[2].