Paradoxe des trois pièces de monnaie

Il y a huit possibilités équiprobables (PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF ), parmi celles-ci se trouvent deux cas favorables (PPP et FFF). La probabilité vaut donc 2/8, soit 0,25.

Illustrons cela au travers d'un dialogue entre Candide et le professeur Cosinus :

— Candide : Si je lance trois pièces, il y en a forcément deux qui seront déjà du même côté.

— Cosinus : En effet.

— Candide : Il y a donc bien une chance sur deux que la troisième soit du même côté.

— Cosinus : Pas du tout !

— Candide : Mais si. Il y a 4 possibilités : 2xP+P, 2xP+F, 2xF+P, 2xF+F ; et 2 cas favorables : 2xP+P, 2xF+F.

— Cosinus : Oui mais, contrairement au raisonnement énumératif, les possibilités ne sont pas équiprobables.

— Candide : C’est-à-dire ?

— Cosinus : Par exemple : 2xP+P correspond à PPP seulement ; mais 2xP+F correspond à PPF, PFP ou FPP. Le cas 2xP+F est donc trois fois plus probable que 2xP+P.

— Candide : Mais enfin, les deux premières pièces donnent pile ou face avec une probabilité 1/2 ; la troisième donne aussi pile ou face avec une probabilité 1/2 ; donc la probabilité que le résultat des deux premières pièces soit identique au résultat de la troisième est 1/2.

— Cosinus : Tes prémisses sont justes ; mais la conclusion est fausse en l'occurrence. Cela n'a rien à voir. Qu'est-ce qui te permet une telle conclusion ?

— Candide : Euh... Bon... Mais supposons que l'on numérote les pièces sans les regarder, puis on découvre que les pièces n^o 1 et n^o 2 donnent pile. Quelle est la probabilité pour que la pièce n^o 3 donne pile ?

— Cosinus : 1/2.

— Candide : Ah ! J'ai donc raison.

— Cosinus : Pas du tout. La situation est différente.

— Candide : En quoi ?

— Cosinus : Lorsque les pièces sont numérotées dans l'ignorance du (ou préalablement au) tirage, la pièce n^o 3 n'est pas corrélée aux deux autres. La troisième pièce, en revanche, est choisie ou déterminée a posteriori. Elle est corrélée aux deux autres. C'est, grossièrement la pièce dont le résultat peut être différent des autres.

— Candide : Mais alors, comment poursuivre mon raisonnement justement ?

— Cosinus : J'aurais dû ajouter que, « la probabilité pour que la pièce n^o 3 donne pile lorsque les pièces n^o 1 et n^o 2 donnent pile » signifie « la probabilité pour que la pièce n^o 3 donne pile sachant que les pièces n^o 1 et n^o 2 donnent pile. » Il faut donc faire usage des probabilités conditionnelles.

Notons ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ les résultats (pile/face) respectifs des pièces numérotées selon l'expérience de Candide. Ainsi l'erreur vient du fait que Candide ne calcule pas ${\displaystyle p(A=B=C)}$ mais ${\displaystyle p(A=B=C|A=B)}$.

La probabilité pour que les trois pièces "soient semblables" sachant que les pièces n^o 1 et n^o 2 "sont semblables" est :

${\displaystyle p(A=B=C|A=B)={p(A=B=C) \over p(A=B)}.p(A=B|A=B=C)={{1 \over 4} \over {1 \over 2}}.1={1 \over 2}\,}$