Persistance d'un nombre

La persistance d'un nombre est, en mathématiques, le nombre d'étapes nécessaires pour atteindre un point fixe, lorsqu'on effectue par itérations successives une série d'opérations à ce nombre.

Exemples

Pour obtenir la persistance additive d'un nombre, le principe consiste à additionner les chiffres de ce nombre, puis à recommencer avec le résultat obtenu jusqu'à obtenir un nombre à un seul chiffre. Par exemple, pour le nombre 2718, on obtient : 2718 → 18 → 9. Comme il faut 2 étapes pour obtenir un nombre à un chiffre, la persistance additive de 2718 est égale à 2. Le résultat final, 9 pour cet exemple, s'appelle la racine numérique additive (ou résidu) de 2718.

De même, on obtient la persistance multiplicative d'un nombre en multipliant ses chiffres entre eux, puis en recommençant avec le résultat obtenu jusqu'à obtenir un nombre à un seul chiffre. Par exemple, la persistance multiplicative de 39 est égale à 3, car il faut 3 étapes pour le réduire à un nombre à un chiffre : 39 → 27 → 14 → 4. Le résultat obtenu, ici 4, s'appelle la racine numérique multiplicative du nombre 39.

Plus petits nombres de persistance donnée

Persistance multiplicative

Actuellement, en base 10, on conjecture qu'il n'existe pas de nombre dont la persistance multiplicative est supérieure à 11. La plus ancienne mention connue de ce problème[1] est un article de Neil Sloane publié en 1973[2]. En 2013, Francesco De Comité a vérifié par ordinateur[1] tous les nombres jusqu'à 10⁵⁰⁰.

Le tableau suivant donne les plus petits nombres de persistance multiplicative donnée[3].

Plus petit nombre N de persistance multiplicative p en base 10
p	N
0	0
1	10
2	25
3	39
4	77
5	679
6	6788
7	68889
8	2677889
9	26888999
10	3778888999
11	277777788888899

Il a été démontré qu'aucun nombre jusque 10²⁰⁵⁸⁵ ne pouvait avoir de persistance multiplicative supérieure à 11[3]. Dans son article Sloane mentionne une conjecture plus générale : pour toute base de numérotation b, il existe une constante M(b) telle qu’aucun entier exprimé dans cette base b n’a une persistance multiplicative supérieure à M(b)[1].

Persistance additive

Pour la persistance additive, il n'existe pas de limite, elle peut être aussi grande qu'on le souhaite. Le tableau suivant donne les plus petits nombres pour les premières persistances additives (suite A006050 de l'OEIS).

Plus petit nombre N de persistance additive a
a	N
0	0
1	10
2	19
3	199
4	19999999999999999999999

Références

Delahaye 2013.
Sloane 1973.
suite A003001 de l'OEIS

Voir aussi

Bibliographie

(en) Neil Sloane, « The persistence of a number », Journal of Recreational Mathematics, vol. 6, n^o 2,‎ 1973, p. 97–98 (lire en ligne).
Jean-Paul Delahaye, « La persistance des nombres », Pour la science, n^o 430,‎ août 2013, p. 80–85 (lire en ligne).
(en) Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, Springer, 2004, 3^e éd. (lire en ligne), « F25 », p. 398–399.
Lycée Rive Gauche : Sevcan LEKESIZ, Medi OLIVIER, François DEGUINE, Joseph TOUZET, « Suite multiplicative », Publication MATh.en.JEANS,‎ 7 avril 2018 (lire en ligne [PDF])

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Multiplicative Persistence », sur MathWorld
(en) Eric W. Weisstein, « Additive Persistence », sur MathWorld

Arithmétique et théorie des nombres

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[pll-1] Delahaye 2013.

[2] Sloane 1973.

[oeis-A003001-3] suite A003001 de l'OEIS