Plan complexe
En mathématiques, le plan complexe (aussi appelé plan d'Argand, plan d'Argand-Cauchy ou plan d'Argand-Gauss[1]) désigne un plan, muni d'un repère orthonormé, dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.
Le complexe associé à un point est appelé l'affixe de ce point. Une affixe est constituée d'une partie réelle et d'une partie imaginaire correspondant respectivement à l'abscisse et l'ordonnée du point.
Définition
On associe en général le plan complexe à un repère orthonormé direct. Dans un tel repère, tout point M est l'image d'un unique nombre complexe z qui est appelé affixe de cet unique point (le genre du nom affixe est discuté : le dictionnaire de l'Académie française le renseigne comme masculin[2], les dictionnaires commerciaux l'annoncent comme féminin[3]) : on note M(z).
Pour tout nombre complexe z tel que z=a+ ib où a et b sont des réels, on a la relation . On peut ainsi dire que la partie réelle de z est l'abscisse de M et que la partie imaginaire de z en est son ordonnée.
D'après cette égalité, tous les points de l'axe sont tels que la partie imaginaire de leur affixe est nulle : leur affixe est donc un nombre réel. En conséquence, on appelle l'axe axe des réels.
De la même façon, tous les points de l'axe sont tels que la partie réelle de leur affixe est nulle : leur affixe est donc un nombre imaginaire pur. En conséquence, on appelle l'axe axe des imaginaires purs.
(a ; b) sont les coordonnées cartésiennes du point M, unique représentant du nombre z=a+ ib dans le plan complexe. On peut aussi écrire z avec les coordonnées polaires (r ; θ) du point M, ce qui correspond à l'écriture exponentielle z=r ei θ. Dans ce cas, r est le module du nombre z et θ est un de ses arguments (modulo 2π).
Transformations du plan
La somme de deux vecteurs correspond à la somme de leurs affixes. Ainsi, la translation d'un vecteur donné correspond à l'addition de son affixe.
Une rotation d'un angle θ autour de l'origine correspond à la multiplication de l'affixe par le nombre eiθ, qui est un nombre complexe de module 1.
Une homothétie de rapport k (réel) et de centre l'origine du plan correspond à la multiplication de l'affixe par k.
Notes et références
- « Argand Jean Robert », sur ChronoMath.
- Académie Française, « Dictionnaire de l'Académie Française », sur https://www.dictionnaire-academie.fr/
- dictionnaire Larousse, « article affixe », sur https://www.larousse.fr
Lien externe
- Jean-Robert Argand, Essai sur une manière de représenter des quantités imaginaires dans les constructions géométriques, 1806, en ligne et commenté sur le site Bibnum
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