Point absorbant

En analyse mathématique, on dit qu'un point $x$ d'un ensemble $P$ d'un espace vectoriel réel $\mathbb {E}$ est un point absorbant de $P$ si, quel que soit $d\in \mathbb {E}$ , il existe un scalaire $t>0$ , tel que $x+td\in \mathbb {E}$ .

Cas d'un convexe dans un espace vectoriel de dimension finie

Lorsque $P$ est convexe et $\mathbb {E}$ est de dimension finie, les points absorbants sont les points intérieurs à $P$ .

Point absorbant d'un convexe en dimension finie — Soient $\mathbb {E}$ un espace vectoriel de dimension finie, $C$ un convexe de $\mathbb {E}$ et $x\in C$ . Alors les propriétés suivantes sont équivalentes:

$x$ est un point absorbant de $C$ ,
$x$ est intérieur à $C$ ,
$\mathbb {E} =\mathbb {R} _{+}(C-x)$ .

La troisième propriété fait le lien avec le cône des directions admissibles.

Bibliographie

(en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.

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