Point rationnel

Soit ${\displaystyle X}$ une variété algébrique définie sur un corps ${\displaystyle k}$. Un point ${\displaystyle x\in X}$ est appelé un point rationnel si le corps résiduel ${\displaystyle k(x)}$ de X en x est égal à ${\displaystyle k}$. Cela revient à dire que les coordonnées du point ${\displaystyle x}$ dans une carte locale affine appartiennent toutes à ${\displaystyle k}$. Lorsque la variété algébrique est déduite d'un système d'équations polynômiales homogène ou affine, les points rationnels correspondent aux solutions du système dans ${\displaystyle k}$.

L'ensemble des points rationnels de ${\displaystyle X}$ est noté ${\displaystyle X(k)}$.

Sur un corps de base algébriquement clos, tous les points (fermés) sont rationnels. Dans le cas contraire, ${\displaystyle X(k)}$ peut très bien être vide sans que ${\displaystyle X}$ le soit.

Une partie importante de la géométrie arithmétique concerne l'étude des points rationnels des variétés algébriques définies sur un corps de nombres.

• L'ensemble des points rationnels d'un espace affine ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{n}}$ s'identifie à ${\displaystyle K^{n}}$. De même l'ensemble des points rationnels d'un espace projectif ${\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}}$ (comme variété algébrique) s'identifie à l'espace projectif ${\displaystyle (K^{n+1}\setminus \{0\})/K^{*}}$.
• Si X est la courbe algébrique projective définie par l'équation ${\displaystyle x^{p}+y^{p}+z^{p}=0}$ dans ℚ, où p est un nombre premier impair, les points rationnels X(ℚ) correspondent aux solutions homogènes de l'équation de Fermat d'exposant ${\displaystyle p}$. Le point ${\displaystyle (1:-1:0)}$ est un point rationnel (sur ℚ), par contre le point ${\displaystyle (-1:\xi _{p}:0)}$ où ${\displaystyle \xi _{p}=e^{2i\pi /p}\in \mathbb {C} }$ est une racine primitive p-ième de l'unité, n'est pas rationnel.
• La courbe affine x² + y² + 1 = 0 sur ℝ n'a pas de points rationnels.
• La conjecture de Mordell, démontrée par Gerd Faltings, dit que pour toute courbe projective non-singulière de genre au moins deux, définie sur un corps de nombres, admet au plus un nombre fini de points rationnels.
• Le théorème de Mordell-Weil, généralisé par Lang et Néron[1]^,[2], dit que pour toute variété abélienne A sur un corps K de type fini sur ℚ ou un corps fini, l'ensemble des points rationnels A(K) est un groupe abélien de type fini.

§ "Points rationnels" de l'article : Variété algébrique

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