Polydisque

Dans la théorie des fonctions de plusieurs variables complexes, une branche des mathématiques, un polydisque est un produit cartésien de disques.

Plus précisément, si l'on désigne par ${\displaystyle D(z,r)}$ le disque ouvert de centre z et de rayon r dans le plan complexe, alors un polydisque ouvert est un ensemble de la forme

${\displaystyle D(z_{1},r_{1})\times \dots \times D(z_{n},r_{n}).}$

Il peut être écrit de manière équivalente comme

${\displaystyle \{w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})\in {\mathbf {C} }^{n}:\vert z_{k}-w_{k}\vert <r_{k},{\mbox{ for all }}k=1,\dots ,n\}.}$

Il ne faut pas confondre le polydisque avec la boule ouverte dans C ⁿ, qui est définie comme

${\displaystyle \{w\in \mathbf {C} ^{n}:\lVert z-w\rVert <r\}.}$

Ici, la norme est la distance euclidienne dans C ⁿ .

Pour ${\displaystyle n>1}$, les boules ouvertes et les polydisques ouverts ne sont pas biholomorphiquement équivalents, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de cartographie biholomorphe entre les deux. Ce résultat a été prouvé par Poincaré en 1907 en montrant que leurs groupes d'automorphismes ont des dimensions différentes de celles des groupes de Lie[1].

Lorsque ${\displaystyle n=2}$ le terme bidisque est parfois utilisé.

Le polydisque est un exemple de domaine de Reinhardt logarithmiquement convexe .