Polygone circonscriptible

En géométrie euclidienne, un polygone circonscriptible (ou polygone tangent) est un polygone convexe contenant un cercle inscrit, soit un cercle tangent à chaque côté du polygone. Le polygone dual d'un polygone circonscriptible est un polygone cyclique, qui possède un cercle circonscrit passant par chacun de ses sommets.

Un trapèze circonscriptible.

Les exemples les plus simples sont les triangles et tous les polygones réguliers. Un groupe particulier de polygones tangents sont les quadrilatères tangents, comme les losanges et les cerfs-volants.

Caractérisations

Un polygone convexe a un cercle inscrit si et seulement si toutes les bissectrices de ses angles sont concourantes. Ce point est alors le centre du centre inscrit[1].

Il existe un polygone circonscriptible de n côtés de longueurs respectives a1, ..., an si et seulement si le système d'équations linéaires

a une solution (x1, ..., xn) de nombres réels[2]. Si une telle solution existe, alors x1, ..., xn sont les longueurs tangentes du polygone (les longueurs entre les sommets du polygone et les points de tangence au cercle).

Cas d'unicité

Pour les polygones de nombre de côtés n impair, pour chaque ensemble (a1, ..., an) satisfaisant la condition d'existence, le polygone correspondant est unique. Pour les polygones de nombre de côtés pair, il y en a une infinité[3]:p. 389. On peut remarquer par exemple que dans le cas des quadrilatères (n=4) dont tous les côtés sont égaux, pour un cercle donné, il existe une infinité de losanges tangents.

Rayon du cercle

Si les n côtés du polygone circonscriptible sont donnés par a1, ..., an, le rayon du cercle inscrit vaut[4]

avec K l'aire du polygone et s son demi-périmètre. Comme tout triangle est circonscriptible, cette formule s'applique à tout triangle.

Autres propriétés
  • Pour un polygone tangent avec un nombre de côtés impair, tous ses côtés sont égaux si et seulement si tous ses angles sont égaux, et donc le polygone est régulier. Un polygone tangent ayant un nombre de côtés pair aura tous ses côtés sont égaux si et seulement si les angles alternés sont égaux (soit les angles en A, C, E, ... sont égaux et les angles en B, D, F, ... aussi)[5].
  • Dans un polygone tangent avec nombre de côtés pair (n=2p), les longueurs des côtés prises alternativement sont égales, soit[2]
  • Pour un polygone ayant des longueurs de côtés données dans un ordre et des angles au sommet donnés dans un ordre, le polygone circonscriptible aura la plus petite surface[6]:p. 862.
  • Le centre de gravité d'un polygone circonscriptible, l'isobarycentre de ses points frontière et le centre du cercle inscrit sont alignés, avec le centre de gravité du polygone entre les deux autres, et deux fois plus loin centre du cercle inscrit que de l'isobarycentre de ses points frontière[6]:pp. 858–9.

Cas particuliers

Triangle tangent
Tout triangle possède un cercle inscrit.

Comme tout triangle possède un cercle inscrit, un triangle est appelé triangle tangent d'un triangle de référence si les points de tangence d'un triangle circonscriptible sont aussi les sommets du triangle de référence. Le cercle circonscrit du triangle de référence devient alors le cercle inscrit au triangle tangent.

Hexagone circonscriptible

Dans un hexagone circonscriptible ABCDEF, les trois diagonales AD, BE et CF sont concourantes ; c'est un cas particulier du théorème de Brianchon.

Voir aussi
  • Polygone cyclique

Références
  1. (en) Owen Byer, Felix Lazebnik et Deirdre Smeltzer, Methods for Euclidean Geometry, Mathematical Association of America, , 77 p..
  2. Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović, The IMO Compendium, Springer, 2006, p. 561.
  3. Albrecht Hess, « On a circle containing the incenters of tangential quadrilaterals », Forum Geometricorum, vol. 14,‎ , p. 389–396 (lire en ligne).
  4. Claudi Alsina et Roger Nelsen, Icons of Mathematics. An exploration of twenty key images, Mathematical Association of America, , 125 p..
  5. Michael De Villiers, « Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons », Mathematical Gazette, no 95,‎ , p. 102–107.
  6. Tom M. Apostol and Mamikon A. Mnatsakanian, « Figures Circumscribing Circles », American Mathematical Monthly,‎ , p. 853–863 (DOI 10.2307/4145094, lire en ligne, consulté le )
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