Polynôme d'Askey-Wilson

Les polynômes d'Askey-Wilson sont définis par :

${\displaystyle p_{n}(x;a,b,c,d\mid q)=(ab,ac,ad;q)_{n}a^{-n}\;_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abcdq^{n-1}&ae^{i\theta }&ae^{-i\theta }\\ab&ac&ad\end{matrix}};q,q\right]}$

où ${\displaystyle \phi }$ est une fonction hypergéométrique de base (en), ${\displaystyle x=\cos(\theta )}$ et ${\displaystyle (\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot )_{n}}$ est le q-symbole de Pochhammer étendu par la formule ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r};q)_{n}:=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{r};q)_{n}}$. Ce sont des polynômes de degré n en ${\displaystyle x=\cos \theta }$.

Les polynômes ${\displaystyle p_{n}(x;a,b,c,d\mid q)}$ sont symétriques en les paramètres ${\displaystyle a,b,c,d}$. Pour ${\displaystyle x=(a+a^{-1})/2}$, ils prennent la valeur particulière

${\displaystyle p_{n}((a+a^{-1})/2;a,b,c,d\mid q)=(ab,ac,ad;q)_{n}a^{-n}}$,

et de même ${\displaystyle x(b+b^{-1})/2,(c+c^{-1})/2}$ et ${\displaystyle (d+d^{-1})/2}$. Pour des entiers ${\displaystyle m,n}$ positifs ou nuls, il y a vérifient la relation de dualité

${\displaystyle {\frac {p_{n}((a^{-1}q^{-m}+aq^{m})/2;a,b,c,d\mid q)}{p_{n}((a^{-1}+a)/2;a,b,c,d\mid q)}}={\frac {p_{m}(({\check {a}}^{-1}q^{-n}+{\check {a}}q^{n})/2;{\check {a}},{\check {b}},{\check {c}},{\check {d}}\mid q)}{p_{m}(({\check {a}}^{-1}+{\check {a}})/2;{\check {a}},{\check {b}},{\check {c}},{\check {d}}\mid q)}}}$

pour ${\displaystyle a=q^{-1/2}({\check {a}}{\check {b}}{\check {c}}{\check {d}})^{1/2}}$ et ${\displaystyle ab={\check {a}}{\check {b}}}$, ${\displaystyle ac={\check {a}}{\check {c}}}$, ${\displaystyle ad={\check {a}}{\check {d}}}$.

Pour ${\displaystyle 0<q<1}$, et pour quatre nombres réels ${\displaystyle a,b,c,d}$ vérifiant ${\displaystyle |a|,|b|,|c|,|d|<1}$, on a la relation d'orthogonalité :

${\displaystyle \int _{-1}^{1}p_{n}(x)p_{m}(x)w(x)\,dx=h_{n}\,\delta _{n,m},}$

avec

${\displaystyle h_{0}:={\frac {(abcd;q)_{\infty }}{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty }}}\,,\quad {\frac {h_{n}}{h_{0}}}:={\frac {1-abcdq^{n-1}}{1-abcdq^{2n-1}}}\,{\frac {(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{n}}{(abcd;q)_{n}}}.}$

Pour des valeurs plus générales des paramètres, il existe une relation sous forme d'une intégrale de contour. Le cas particulier de l’équation pour ${\displaystyle n=m=0}$ est appelé l'intégrale d'Askey-Wilson.

Par la spécialisation de certains paramètres, on retrouve d'autres familles de polygones orthogonaux (comme ci-dessus, ${\displaystyle x=\cos \theta }$) :

• Polynômes de Al-Salam-Chihara :

${\displaystyle Q_{n}(x;a,b\mid q):=p_{n}(x;a,b,0,0\mid q)}$.

• Polynômes de q-Jacobi continus:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x;q):={\rm {const}}\,p_{n}(x;q^{\frac {1}{2}},q^{\alpha +{\frac {1}{2}}},-q^{\beta +{\frac {1}{2}}},-q^{\frac {1}{2}}\mid q)={\rm {const}}\,p_{n}(x;q^{\alpha +{\frac {1}{2}}},q^{\alpha +{\frac {3}{2}}},-q^{\beta +{\frac {1}{2}}},-q^{\beta +{\frac {3}{2}}}\mid q^{2})}$.

• Polynômes q-ultrasphériques continus :

${\displaystyle C_{n}(x;\beta \mid q):={\frac {(\beta ;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}\,p_{n}(x;\beta ^{\frac {1}{2}},\beta ^{\frac {1}{2}}q^{\frac {1}{2}},-\beta ^{\frac {1}{2}},-\beta ^{\frac {1}{2}}q^{\frac {1}{2}}\mid q)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(\beta ;q)_{k}(\beta ;q)_{n-k}}{(q;q)_{k}(q;q)_{n-k}}}\,e^{i(n-2k)\theta }}$.

• Polynômes de q-Hermite continus :

${\displaystyle H_{n}(x\mid q):=(q;q)_{n}\,C_{n}(x;0\mid q)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(q;q)_{n}}{(q;q)_{k}(q;q)_{n-k}}}\,e^{i(n-2k)\theta }}$.

• Polynômes de Tchebychev :

${\displaystyle p_{n}(x;1,-1,q^{\frac {1}{2}},-q^{\frac {1}{2}}\mid q)={\rm {const}}\,\cos n\theta ,\quad p_{n}(x;q,-q,q^{\frac {1}{2}},-q^{\frac {1}{2}}\mid q)={\rm {const}}\,{\frac {\sin(n+1)\theta }{\sin \theta }}}$,

${\displaystyle p_{n}(x;q,-1,q^{\frac {1}{2}},-q^{\frac {1}{2}}\mid q)={\rm {const}}\,{\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})\theta }{\sin {\frac {1}{2}}\theta }}\,,\quad p_{n}(x;1,-q,q^{\frac {1}{2}},-q^{\frac {1}{2}}\mid q)={\rm {const}}\,{\frac {\cos(n+{\frac {1}{2}})\theta }{\cos {\frac {1}{2}}\theta }}}$.

• Schéma d'Askey (en)
• Liste de polynômes remarquables

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Askey–Wilson polynomials » (voir la liste des auteurs).

• George Gasper et Mizan Rahman, Basic hypergeometric series, Cambridge University Press, coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications » (n^o 96), 2004, 2^e éd., 428 p. (ISBN 978-0-521-83357-8, Math Reviews 2128719, lire en ligne)
• Tom H. Koornwinder, Roderick S. C. Wong, Roelof Koekoek et René F. Swarttouw, « Askey-Wilson class », dans : Frank W. J. Olver, Daniel M. Lozier, Ronald F. Boisvert, Charles W. Clark (éditeurs), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press (ISBN 978-0521192255, Math Reviews 2723248).
• Tom H. Koornwinder, « Askey-Wilson polynomial », Scholarpedia, vol. 7, n^o 7,‎ 2012, p. 7761 (DOI 10.4249/scholarpedia.7761, lire en ligne)

• (en) Eric W. Weisstein, « Hypergeometric Series », sur MathWorld

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