Pondération inverse à la distance

La pondération inverse à la distance ou PID (en anglais, inverse distance weighting ou IDW) est une méthode d'interpolation spatiale, un processus permettant d'assigner une valeur à tout point d'un espace à partir d'un semis de points connus.

Une forme courante pour trouver une valeur interpolée $u$ à partir d'un point donné $x$ en utilisant la PID est une fonction d'interpolation : $u(\mathbf {x} )={\frac {\sum _{k=0}^{N}{{w_{k}(\mathbf {x} )}^{p}u_{k}}}{\sum _{k=0}^{N}{w_{k}(\mathbf {x} )}^{p}}},$

où : $w_{k}(\mathbf {x} )={\frac {1}{d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})}},$

est une fonction simple de pondération, comme définie par Shepard[1], $x$ étant le point à interpoler, $x k$ est un point d'interpolation (connu), $u k$ la valeur de la fonction $u$ au point $x k$ , $d$ est une distance donnée (opérateur de mesure) du point d'interpolation $x k$ au point à interpoler $x$ , $N$ est le nombre total de points connus utilisés dans l'interpolation et $p$ est un nombre positif réel, appelé le paramètre de puissance. Ici, le poids des points voisins diminue lorsque la distance augmente. Les plus grandes valeurs de $p$ donnent une influence plus grande aux valeurs les plus proches du point interpolé. Pour $0 < p < 1$ , en $u (x)$ , on observe des sommets lissés autour du point d'interpolation $x k$ , alors que pour $p > 1$ , le pic devient plus pointu. Le choix de $p$ est donc une fonction du degré de lissage désiré pour l'interpolation, de la densité et la distribution des échantillons interpolés, et de la distance maximum au-delà de laquelle un échantillon individuel peut influencer les points environnants. Telle que décrite, la fonction d'interpolation est indéterminée aux points d'interpolation (division 0/0). Dans ce cas, la pondération sera prise égale à 1 pour le point à distance 0 de x, et 0 pour tous les autres points.

Pondération de Shepard

La méthode de Shepard est une conséquence de la minimisation d'une fonction liée à la mesure des déviations entre les tuples de points interpolés ${x, u (x)}$ et k tuples de points d'interpolation ${x k, u k}$ , définis comme : $\phi (\mathbf {x} ,u)=\left(\sum _{k=0}^{N}{\frac {(u-u_{k})^{2}}{d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})^{p}}}\right)^{\frac {1}{p}},$

dérivé de la condition de minimisation : ${\frac {\partial \phi (\mathbf {x} ,u)}{\partial u}}=0$ .

La méthode peut être aisément étendue à des dimensions supérieures de l'espace et est en fait une généralisation de l'approximation de Lagrange aux espaces multidimensionnels.

Une version modifiée de l'algorithme créé pour l'interpolation trivariée a été développée par Robert J. Renka et est disponible dans Netlib comme "algorithm 661" dans la bibliothèque "toms" ("Transactions On Mathematical Software").

Autres pondérations

Pondération de Łukaszyk-Karmowski

Une autre modification de la méthode de Shepard a été proposée par Łukaszyk[2] aussi en application à la mécanique appliquée. La fonction de pondération proposée avait la forme suivante :

$w_{k}(\mathbf {x} )={\frac {1}{(D_{**}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k}))^{\frac {1}{2}}}},$ où $D_{**}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})$ est la mesure de Lukaszyk-Karmowski choisie également en fonction de l'erreur statistique et de la distribution de la probabilité de la mesure des points interpolés.

Pondération de Franke-Little

Une modification de la méthode de Shepard a été proposée par Franke[3], qui suggère d'utiliser : $w_{k}(\mathbf {x} )=\max \left(1-{\frac {d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})}{R}},0\right),$ comme fonction de pondération, où R est le rayon de la sphère d'influence, distance au-delà de laquelle les points d'interpolation n'ont plus d'effet sur la valeur interpolée. De fait, la pondération de Franke-Little rend l'interpolation locale. Il faut s'assurer de choisir R pour que suffisamment de points soient situés à l'intérieur de la sphère d'influence. L'interpolation locale permet de diminuer la quantité de calculs lorsque les points d'interpolations sont très nombreux.

Références

Donald Shepard (1968). « A two-dimensional interpolation function for irregularly-spaced data » Proceedings of the 1968 ACM National Conference: 517–524 p. (DOI:10.1145/800186.810616).
A new concept of probability metric and its applications in approximation of scattered data sets
(en) R. Franke, « Scattered data Interpolation: Tests of some methods », Mathematics of Computation, vol. 38,‎ 1982, p. 181–200

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Voir aussi

Interpolation numérique

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[1] Donald Shepard (1968). « A two-dimensional interpolation function for irregularly-spaced data » Proceedings of the 1968 ACM National Conference: 517–524 p. (DOI:10.1145/800186.810616).

[2] A new concept of probability metric and its applications in approximation of scattered data sets

[3] (en) R. Franke, « Scattered data Interpolation: Tests of some methods », Mathematics of Computation, vol. 38,‎ 1982, p. 181–200