Potentiel de Pöschl–Teller

Dans sa forme symétrique, le potentiel est explicitement donné par:[2]

Symétrique du potentiel de Pöschl–Teller. Il montre les valeurs propres de m=1, 2, 3, 4, 5, 6.

${\displaystyle {\displaystyle V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)}}$

et les solutions de l'équation de Schrödinger indépendantes du temps

${\displaystyle {\displaystyle -{\frac {1}{2}}\psi ''(x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)}}$

avec ce potentiel peut être trouvé en vertu de la substitution, ce qui donne

${\displaystyle \left[(1-u^{2})\psi '(u)\right]'+\lambda (\lambda +1)\psi (u)+{\frac {2E}{1-u^{2}}}\psi (u)=0}$.

Ainsi, les solutions sont juste les fonctions de Legendre ${\displaystyle {\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(\tanh(x))}}$avec ${\displaystyle {\displaystyle E={\frac {-\mu ^{2}}{2}}}}$et ${\displaystyle {\displaystyle \lambda =1,2,3\cdots },{\displaystyle \mu =1,2,\cdots ,\lambda -1,\lambda }}$. En outre, les données de valeurs propres et de diffusion peuvent être explicitement calculées.[3] Dans le cas particulier où ${\displaystyle \lambda }$ est un entier, le potentiel est sans réflexion et de tels potentiels peuvent également être solutions N-solitons de l'équation de Korteweg-de Vries.

La forme la plus générale du potentiel est donnée par[4] :

${\displaystyle {\displaystyle V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)-{\frac {\nu (\nu +1)}{2}}\mathrm {csch} ^{2}(x).}}$

Un potentiel lié est donné par un terme supplémentaire[5].

${\displaystyle {\displaystyle V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)-g\tanh x}}$

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