Potentiel quantique

À la suite des idées de Louis de Broglie sur la dualité onde-corpuscule, Erwin Schrödinger bâtit une équation d'onde appropriée pour l'électron :

${\displaystyle {\rm {i}}\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,\,t)\,,}$

où :

${\displaystyle m}$ est la masse de l'électron,

${\displaystyle \hbar }$ la constante de Planck réduite,

${\displaystyle V}$ l'opérateur d'énergie potentielle,

i l'unité imaginaire.

${\displaystyle \Psi (r,t)}$ est une fonction complexe de la position ${\displaystyle r}$ et du temps ${\displaystyle t}$. L'électron est traité comme une onde ${\displaystyle \Psi ({\bf {r}},t)}$ se déplaçant dans un puits de potentiel ${\displaystyle V}$. La densité de probabilité ${\displaystyle \rho ({\bf {r}},t)}$ qui lui est associée est définie par

${\displaystyle \rho ({\bf {r}},t)=|\Psi ({\bf {r}},t)|^{2}=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)\,.}$

(Probabilité par unité de volume, * indique un complexe conjugué.)

L'idée est alors d'écrire l'équation de Schrödinger sous sa forme polaire avec ${\displaystyle \psi =R\,{\rm {e}}^{{\rm {i}}S/\hbar }}$ où :

${\displaystyle R}$ est l'amplitude de la fonction d'onde ${\displaystyle \psi }$ et

${\displaystyle S/\hbar }$ sa phase.

On obtient deux équations couplées, une pour la partie imaginaire et une autre pour la partie réelle :

(1) ${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial t}}=-{\frac {1}{2m}}\left[R\nabla ^{2}S+2\nabla R\cdot \nabla S\right]\,,}$

(2) ${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {\left(\nabla S\right)^{2}}{2m}}+V+Q\,.}$

Puisque ${\displaystyle \rho =R^{2}}$, l'équation (1) donne l’équation de continuité ${\displaystyle \partial \rho /\partial t+\nabla \cdot {\bf {j}}=0\,}$, si l'on définit la densité de probabilité ${\displaystyle \rho }$ et le courant de probabilité ${\displaystyle {\bf {j}}}$ :

${\displaystyle {\bf {j}}={\frac {\hbar }{2m{\rm {i}}}}\left[\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right]={\frac {1}{2m}}\left[R^{2}\nabla S+2\nabla R\cdot \!\nabla S\right]\,.}$

L'équation (2) montre que l'énergie totale ${\displaystyle E=-\partial S/\partial t}$ est la somme des énergies cinétique ${\displaystyle \left(\nabla S\right)^{2}/(2m)}$ et potentielle ${\displaystyle V}$ et d'un terme additionnel ${\displaystyle Q}$ que Bohm baptise « potentiel quantique », défini comme :

${\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R}{R}}={\frac {\hbar ^{2}}{4m}}\left[{\frac {1}{2}}{\frac {(\nabla \rho )^{2}}{\rho ^{2}}}-{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}\right]}$

Le potentiel quantique ${\displaystyle Q}$ dépend de la forme de l'amplitude de la fonction d'onde ${\displaystyle \psi }$. Il génère inévitablement des effets non locaux, en particulier lorsqu'on étudie une trajectoire qui décrit plusieurs particules dans l'espace des configurations. Il suffit pour cela que la fonction d'onde ne se décompose pas en un produit de fonctions d'onde pour chaque particule.

David Bohm avait déjà introduit la notion de « potentiel quantique » dès 1952, dans son article sur une interprétation alternative de la mécanique quantique[4].

Basil Hiley avait aussi défini ce « potentiel quantique » comme un « potentiel d’information », c'est-à-dire un des facteurs qui sous-tendent les processus de l’univers lui-même façonné par son environnement[5].

David Bohm utilisa la métaphore du navire ou de l'avion avec pilotage automatique. La puissance des moteurs de propulsion représentant la mécanique classique mais dont l’action est déterminée par la teneur des informations concernant son environnement qui est porté par les ondes radar. L’énergie de ces signaux est négligeable par rapport à la puissance des moteurs mais riche en information et indique avec précision le chemin. Nous pouvons considérer de la même manière le « potentiel quantique » comme contenant des informations actives. Il est potentiellement présent partout, mais réellement actif seulement là et où il y a une particule[6].

Basil Hiley renvoie au potentiel quantique comme à une énergie interne[5] et comme « une propriété nouvelle qui joue seule un rôle dans la réalisation des processus quantiques »[7]. Il fit ressortir que le « potentiel quantique », pour David Bohm, était « un élément clé », sous-entendu qu’il pourrait sous-tendre le formalisme quantique.

L’intime conviction de David Bohm était que l'approche de la théorie ne pouvait pas être mécanique mais plutôt « organique » dans le sens de Whitehead. À savoir, que « c'est le tout qui détermine les propriétés des particules individuelles et de leur relation, et non l'inverse »[8].

Peter R. Holland, dans son édition complète, fait également référence à cela comme un potentiel quantique d'énergie[9].

• Théorie de l'onde pilote
• Théorie de De Broglie-Bohm
• Équation de Schrödinger
• Physique quantique
• Mécanique quantique

• David Bohm - La physique de l'infini. Massimo TEODORANO. Publié dans la collection « Science et Connaissance » de Macro Éditions.
• Bohm, David & Hiley, Basil (1993) : The undivided universe. An ontological interpretation of quantum theory. London : par Lee Nichol Routledge.
• Cushing, James T., Fine, Arthur & Goldstein, Sheldon (dir.) (1996) : Bohmian Mechanics and quantum theory : An appraisal. Dordrecht : Kluwer.

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