Preuve ontologique de Gödel

La Preuve ontologique de Gödel est un argument formel de logique modale du mathématicien Kurt Gödel (1906-1978) pour l'existence de Dieu. L'idée de l'argument remonte à Anselme de Cantorbéry (1033-1109) et a été reprise par Gottfried Leibniz (1646-1716).

Démonstration

La preuve s'appuie sur les définitions et axiomes suivants :

  • Définition 1 : x est divin (propriété que l'on note G(x)) si et seulement si x contient comme propriétés essentielles toutes les propriétés qui sont positives et seulement celles-ci.
  • Définition 2 : A est une essence de x si et seulement si pour chaque propriété B, si x contient B alors A implique B.
  • Définition 3 : x existe nécessairement si et seulement si chaque essence de x est nécessairement exemplifiée.
  • Axiome 1 : Toute propriété strictement impliquée par une propriété positive est positive.
  • Axiome 2 : Une propriété est positive si et seulement si sa négation n'est pas positive.
  • Axiome 3 : La propriété d'être divin est positive.
  • Axiome 4 : Si une propriété est positive, alors elle est nécessairement positive.
  • Axiome 5 : L'existence nécessaire est positive.

De ceux-ci et des axiomes de la logique modale, on déduit, dans l'ordre :

  • Théorème 1 : Si une propriété est positive, alors elle est possiblement exemplifiée.
  • Théorème 2 : La propriété d'être divin est possiblement exemplifiée.
  • Théorème 3 : Si x est divin, alors la propriété d'être divin est une essence de x.
  • Théorème 4 : La propriété d'être divin est nécessairement exemplifiée[1].

Écriture symbolique

Où signifie « A est possible » et où signifie « A est nécessaire ».

Historique

Kurt Gödel n'a jamais publié ce travail, qu'il a commencé en 1941 et perfectionné en 1954 et 1970. Piergiorgio Odifreddi estime que Gödel n'a pas voulu donner l'impression qu'il s'intéressait à la théologie, alors qu'il ne se souciait que de la partie logique de la réflexion[2]. Il a, à plusieurs reprises, présenté cette preuve à des amis vers 1970 mais elle n'a été publiée qu'en 1987, neuf ans après sa mort[réf. souhaitée].

L'axiome 3 disait à l'origine qu'une conjonction de propriétés positives est également une propriété positive[réf. souhaitée]. Mais des propriétés positives pourraient être incompatibles entre elles : leur conjonction serait une propriété impossible et G(x) serait faux pour chaque x (c'est-à-dire que la propriété d'être divin ne serait pas exemplifiée).

Critiques

Critique du raisonnement

La démonstration elle-même, c'est-à-dire le fait que la conclusion découle logiquement des axiomes choisis, est maintenant pratiquement irréfutable étant donné qu'elle a été vérifiée par ordinateur[3].

Notion de positivité

Un point important à noter est qu'aucune définition de la notion de positivité n'est fournie avec la preuve. Tout au plus, les différents axiomes qui s'y rapportent peuvent être considérés comme fournissant une définition implicite partielle[1].

Leibniz, dont Gödel s'est inspiré, utilise cet adjectif pour les qualités qui rendent quelque chose « meilleur » que ce qu'il est sans elles[4].

Auto-référence

D'autre part, on peut soutenir que les axiomes 3 et 5 (positivité de G et de la propriété d'existence nécessaire) supposent plus qu'il n'y paraît, car la notion de positivité n'a réellement de sens que pour des propriétés possiblement exemplifiées. Ainsi, les théorèmes 1 et 2 (possible existence de G et E) sont déjà, implicitement, contenus dans les axiomes. La démonstration des théorèmes 1 et 2 reste logiquement valide, mais n'apporterait rien de plus que la démonstration : "Axiome 1 : Dieu existe. Théorème 1 : Dieu existe."

Cependant, une telle accusation de pétition de principe contre le théorème 4 est difficile à établir.

Généralisations abusives possibles

D'après Jordan Sobel[réf. souhaitée], les axiomes de Gödel doivent être rejetés car impliquent que tous les mondes possibles sont nécessaires. Il montre plus précisément que si X est une propriété possiblement exemplifiée on déduit que X est nécessairement exemplifiée. Un argument semblable prouve que toutes les propriétés possiblement non-exemplifiées le sont en fait nécessairement.

C. Anthony Anderson a tenté de remédier à ce problème en remplaçant l'axiome 2 par :

  • Axiome 2 : Si une propriété est positive, sa négation n'est pas positive,

et en permettant à un objet divin de posséder des propriétés non-positives, à condition que ces propriétés soient contingentes et non nécessaires.

Notes et références
  1. (en) Graham Oppy, « Gödel’s Ontological Argument », sur Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  2. Piergiorgio Odifreddi, « Une démonstration divine », WMY 2000, Anno mondiale della matematica, Bollati Boringhieri,‎
  3. (en) Christoph Benzmüller et Bruno Woltzenlogel Paleo, « Gödel's God in Isabelle/HOL », Archive of Formal Proofs,‎
  4. (en) Conifold, « What did Gödel mean by “positive property” in his ontological argument? », sur philosophy.stackexchange.com, (consulté le )

Bibliographie
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  • Sacha Bourgeois-Gironde, Bruno Gnassounou et Roger Pouivet (dir.), « Une preuve modale de l'existence de Dieu : K. Gödel », in Analyse et théologie : croyances religieuses et rationalité, J. Vrin, Paris, 2002, p. 109-116 (ISBN 2-7116-1549-9), lire en ligne
  • Kurt Gödel, La prova matematica dell'esistenza di Dio, (a cura di) G. Lolli e P. Odifreddi, Turin 2006.
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  • Wang, Hao, A Logical Journey. From Gödel to Philosophy, Cambridge MA 1996, 111-121.

Voir aussi

Articles connexes

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