Preuve par neuf

Considérons un entier naturel a dont l'écriture décimale est ${\displaystyle a_{n_{a}}a_{{n_{a}}-1}...a_{1}a_{0}}$. Cela signifie que ${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}\times 10+...+a_{n_{a}}\times 10^{n_{a}}}$, où ${\displaystyle a_{0}}$, ..., ${\displaystyle a_{n_{a}}}$ sont des chiffres, c'est-à-dire des entiers compris entre 0 et 9.

Comme toutes les puissances de 10 sont congrues à 1 modulo 9 (car ${\displaystyle 10\equiv 1{\pmod {9}}}$ donc pour tout entier naturel n, ${\displaystyle 10^{n}\equiv 1^{n}\equiv 1{\pmod {9}}}$), chaque terme de la forme ${\displaystyle a_{i}\times 10^{i}}$ est congru à ${\displaystyle a_{i}}$ modulo 9, et donc la somme de ses termes est congrue à ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n_{a}}a_{k}=a_{n_{a}}+a_{n_{a}-1}+...+a_{1}+a_{0}}$ modulo 9.

Considérons alors un entier naturel b dont l'écriture décimale est ${\displaystyle b_{n_{b}}b_{{n_{b}}-1}...b_{1}b_{0}}$. Il sera alors congru modulo 9 à ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n_{b}}b_{k}=b_{n_{b}}+b_{n_{b}-1}+...+b_{1}+b_{0}}$.

Alors,

${\displaystyle a\times b\equiv \sum _{k=0}^{n_{b}}b_{k}\times \sum _{k=0}^{n_{a}}a_{k}{\pmod {9}}.}$

Considérons alors un entier naturel c dont l'écriture décimale est ${\displaystyle c_{n_{c}}c_{{n_{c}}-1}...c_{1}c_{0}}$. Il sera alors congru modulo 9 à ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n_{c}}c_{k}=c_{n_{c}}+c_{n_{c}-1}+...+c_{1}+c_{0}.}$

Alors,

${\displaystyle c\equiv \sum _{k=0}^{n_{c}}c_{k}{\pmod {9}}.}$

Si ${\displaystyle a\times b=c}$, alors ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n_{c}}c_{k}\equiv \sum _{k=0}^{n_{b}}b_{k}\times \sum _{k=0}^{n_{a}}a_{k}{\pmod {9}}.}$