Principe d'explosion

L'argument sémantique est tiré de la théorie des modèles. En théorie des modèles, on dit qu'une structure d'interprétation est modèle d'une théorie si la théorie est vraie dans l'ensemble de base de cette structure. Une proposition ${\displaystyle \psi }$ est dans ce cadre une conséquence sémantique d'un ensemble d'autres propositions ${\displaystyle \Gamma }$ seulement si chacun des modèles de ${\displaystyle \Gamma }$ est modèle de ${\displaystyle \psi }$. Pour parler du principe d'explosion, on remarquera qu'il n'existe pas de modèle, c'est-à-dire de structure, de l'ensemble contradictoire ${\displaystyle \{\phi ,\lnot \phi \}}$. A fortiori, il n'existe pas de modèle de ${\displaystyle \{\phi ,\lnot \phi \}}$ qui soit modèle de ${\displaystyle \psi }$. Par conséquent, non rigoureusement, chaque modèle de ${\displaystyle \{\phi ,\lnot \phi \}}$ est un modèle de ${\displaystyle \psi }$. ${\displaystyle \psi }$ est donc une conséquence sémantique de ${\displaystyle \{\phi ,\lnot \phi \}}$.

En théorie de la démonstration, le principe peut s'illustrer par la démonstration suivante où le nom des règles utilisées sont données dans déduction naturelle et style de Fitch pour la déduction naturelle :

Prenons d'abord la version symbolique de l'argument de l'introduction

(1) ${\displaystyle \phi \wedge \neg \phi \,}$

hypothèse

(2) ${\displaystyle \phi \,}$

à partir de (1) par la règle d'élimination de la conjonction

(3) ${\displaystyle \neg \phi \,}$

de (1) par l'élimination de la conjonction

(4) ${\displaystyle \phi \vee \psi \,}$

de (2) par la règle d'introduction de la disjonction

(5) ${\displaystyle \psi \,}$

de (3) et (4) par la règle de résolution

(6) ${\displaystyle (\phi \wedge \neg \phi )\to \psi }$

de (5) par introduction de l'implication (éliminant l'hypothèse (1) )

${\displaystyle \phi }$ est dans notre introduction illustrée par "tous les citrons sont jaunes" et ${\displaystyle \psi }$ est "le Père Noël existe". De la contradiction "tous les citrons sont jaunes et certains citrons ne sont pas jaunes" (1), on déduit d'abord "tous les citrons sont jaunes" (2) puis "certains citrons ne sont pas jaunes" (3) ; de "tous les citrons sont jaunes" (2), nous déduisons "tous les citrons sont jaunes ou le Père Noël existe" (4) ; enfin par "certains citrons ne sont pas jaunes" (3) et de la conséquence précédente (4), nous déduisons "le Père Noël existe" (5). Enfin nous déduisons en (6) que si tous les citrons sont jaunes et si certains ne sont pas jaunes, alors le Père Noël existe.

D'autres démonstrations sont possibles

1. ${\displaystyle \phi \wedge \neg \phi }$ : par hypothèse
2. ${\displaystyle \phi }$ : de (1) par élimination de la conjonction
3. ${\displaystyle \neg \phi \,}$ : de (1) par élimination de la conjonction
4. ${\displaystyle \neg \psi \,}$ : autre hypothèse
5. ${\displaystyle \phi \,}$ : réitération de (2)
6. ${\displaystyle \neg \psi \to \phi }$ : de (4) et (5) par le théorème de la déduction (en)
7. ${\displaystyle (\neg \phi \to \neg \neg \psi )}$ : de (6) par contraposition
8. ${\displaystyle \neg \neg \psi }$ : de (3) et (7) par modus ponens
9. ${\displaystyle \psi \,}$ : de (8) par l'élimination de la double négation (en)
10. ${\displaystyle (\phi \wedge \neg \phi )\to \psi }$ : de (1) et (9) par le théorème de la déduction

Ou encore :

1. ${\displaystyle \phi \wedge \neg \phi \,}$

   hypothèse

2. ${\displaystyle \neg \psi \,}$

   hypothèse

3. ${\displaystyle \phi \,}$

   de (1) par élimination de la conjonction

4. ${\displaystyle \neg \phi \,}$

   de (1) par élimination de la conjonction

5. ${\displaystyle \neg \neg \psi \,}$

   de (3) et (4) par reductio ad absurdum (consommant l'hypothèse 2)

6. ${\displaystyle \psi \,}$

   de (5) par élimination de la double négation

7. ${\displaystyle (\phi \wedge \neg \phi )\to \psi }$

   de (6) par introduction de l'implication (en consommant (1))