Problème d'empilage de blocs

Dans le modèle à empilage simple (single-wide problem), il y a un seul bloc à chaque niveau. Quand les blocs sont tous identiques et rectangulaires, le surplomb maximal ${\displaystyle d_{N}}$ pour ${\displaystyle N}$ blocs est[3]

${\displaystyle d_{N}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{i}}={\frac {1}{2}}H_{N}}$.

C'est la moitié de la somme partielle de la série harmonique. Les premiers termes sont :

N	1	2	3	4	5	6	7	8	9
${\displaystyle d_{N}}$	1/2	3/4	11/12	25/24	137/120	49/40	363/280	761/560	7129/5040

Ces nombres forment les suites  A001008 et  A002805 de l'OEIS. Comme la série harmonique diverge, le surplomb maximum tend vers l'infini avec ${\displaystyle N}$, ce qui signifie que l'on peut réaliser des surplombs arbitrairement grands à condition d'empiler un nombre suffisant de blocs. Asymptotiquement, le surplomb maximal est

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln \,N}$.

Comparaison de l’empilement simple (en haut) et de l'empilement multiple (en bas) avec 3 blocs.

Empilage surplombant maximal avec 20 blocs identiques.

Losque l'on utilise plusieurs blocs à chaque niveau le contrepoids intervient pour permettre de réaliser des surplombs plus grands. Déjà avec trois blocs, deux blocs au dessus du premier niveau peuvent se contrebalancer et donnent un surplomb de 1, alors que dans le cas simple, le surplomb est au plus 11/12. Paterson et Zwick, puis Paterson, Peres, Winkler et Zwick[2]^,[3] ont montré le surplomb maximal que l'on peut atteindre est asymptotiquement

${\displaystyle c{\sqrt[{3}]{N}}}$

ce qui contraste avec le cas simple où le surplomb est proportionnel au logarithme du nombre de blocs. Pour des petits nombres de blocs, il existe des solutions plus optimales[3].