Problème de l'échiquier de Sissa

Les lettres sont des abréviations pour les préfixes du SI d'unités

La solution simple est de doubler chaque valeur manuellement à chaque étape et d'additionner l'ensemble des valeurs :

${\displaystyle T_{64}=1+2+4+\cdots +9\;223\;372\;036\;854\;775\;808=18\;446\;744\;073\;709\;551\;615}$

où ${\displaystyle T_{64}}$ est le nombre total de grains.

La série peut également être exprimée à l'aide des puissances de 2 :

${\displaystyle T_{64}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}}$

ce qui peut s'exprimer sous la notation :

${\displaystyle \sum _{i=0}^{63}2^{i}.}$

Le problème peut également être résolu beaucoup plus facilement en utilisant la formule :

${\displaystyle T_{64}=2^{64}-1.}$

qui peut être démontrée ainsi :

${\displaystyle s=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}.}$

En multipliant chaque côté par 2 :

${\displaystyle 2s=2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots +2^{63}+2^{64}.}$

On soustrait ensuite la série originale de chaque côté :

${\displaystyle 2s-s=-2^{0}+2^{64}}$

${\displaystyle \therefore s=2^{64}-1.}$

Cette solution est un cas particulier de la somme d'une série géométrique donnée par :

${\displaystyle a+aq+aq^{2}+aq^{3}+\cdots +aq^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}aq^{k}=a\,{\frac {1-q^{n}}{1-q}},}$

où ${\displaystyle a}$ est la quantité de base, ${\displaystyle q}$ est la modification à chaque étape de cette quantité et ${\displaystyle n}$ est le nombre de fois que cette dernière est doublée.

Dans ce problème-ci, ${\displaystyle a=1}$, ${\displaystyle q=2}$ et ${\displaystyle n=64}$.

Ce problème peut également être résolu avec un très court programme en Python.

Il existe de nombreuses résolutions possibles mais l'une des plus simples ne nécessitant aucun paquet additionnel est celle ci-dessous:

r = 1
t = 1
for i in range(63):
    r = r*2
    t = t+r
print(t, "grains de riz")

On commence par définir r comme le nombre de grain de riz sur une certaine case de l'échiquier, t comme le nombre total de grain de riz.

r = 1
t = 1

À ce stade, le programme a déjà traité la première case de l'échiquier sur laquelle on a un seul grain de riz.

Pour les 63 restantes, on déclare une boucle for qui s'effectuera pour les valeurs de i dans une portée de 63 (donc i de 0 à 63).

Lors de chaque passage de la boucle, on multiplie par 2 le nombre de grain de riz sur la case (r) et on redéfini le total des grains (t) en y ajoutant la nouvelle valeur de r.

for i in range(63):
    r = r*2
    t = t+r

Pour finir le code on renvoi la valeur du nombre total de grain de riz (t) après les 63 passages de la boucle for par la fonction primaire print().

print(t, "grains de riz.")

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• (en) Eric W. Weisstein, « Wheat and Chessboard Problem », sur MathWorld

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